複素数のｎ乗
ガウス平面上に点ｚをとります。ｚを２乗，３乗，４乗，・・・としていくといったいどうなるでしょう。次の図は最初のｚがピンクの四角で表し，×（バツ）でｚ2，ｚ3，・・・，ｚ20まで表しています。
左の図のように螺旋形に並ぶ場合や，右の図のようにどうなっているのかよくわからない場合もあります。更に補助線として半径１の円を描いて調べてみましょう。
上の図から分かる通り，半径１の円の中にｚがある場合のｚnは円の中に，外にある場合はどんどん円の外に遠ざかっていくのが分かりますね。
更に円周あたりの様子を調べてみましょう。
あるところで虫のようなものが３匹現れましたね。円周上にｚを持っていくと３点に収束しました。次のように虫が４匹現れるところもあります。よくみるとそのうちの一匹は円の右横にあるのに注目してください。（ガウス平面でいうと「１＋０・i」になります）
更に２匹になったり，１匹，５匹と虫の数が変わります。
いったいこの虫の正体は何なのでしょうか。その前に複素数のかけ算についておさらいしておきましょう。
いま、ある複素数 ｘ＋ｙｉ に ａ＋ｂｉという複素数をかけ、ｕ＋ｖｉという複素数になったとします。この変換は、右の図のように角θだけ回転し、
倍に拡大するという変換を表わしています。
同様にｚnは同じ角度，同じ倍率でどんどん回転，拡大を繰り返していくことになります。これが螺旋形になる理由ですね。
ここでｚが半径１の円周上にあるとすると，拡大はせず右下図のように等角度の回転だけ行うことになります。
それでは先ほどの虫の正体に行きましょう。虫が３匹現れる場合を考えてみます。最初のｚは実部１の点から120°の位置に存在しましたね。実はｚ2は240°，ｚ3は実部１の点にあたるのです。同様にｚ4，ｚ5・・・と１周を３等分した点に集まってくるのです。
先ほどのどの場合も実部１の点に必ず１匹存在しましたね。つまりｚn＝１となるｚが１周360°をｎ等分した点に存在し，ｚ2，ｚ3，・・・，ｚn-1個の虫の軍団を作り上げるのです。つまりこの虫の正体はｚn＝１の解の軍団だったわけです。
《参考資料》