| 正三角形 | 正四角形 | 正六角形 |
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このようにタイル張りができる正多角形には，どんな種類があるでしょう。右の図のように正五角形では隙間ができてしまってうまくいきません。実は隙間なくタイル張りができるのは，先にあげた正三角形，正四角形，正六角形の３種類しかないのです。
タイル張りができるためには，何枚かの正多角形を重ねた頂点の周りがちょうど３６０°になる必要があります。では何故３種類しかないかを考えて見ましょう。
その前に正ｎ角形の内角の大きさを求めておきましょう。ｎ角形は右の図のように(ｎ−２)個の三角形に分割されますから，ｎ角形の内角の和は(ｎ−２)×１８０°となります。ゆえに，ｎ角形の１つの内角の大きさは
(ｎ−２)×１８０°/ｎ
となります。
今，ｍ個の正ｎ角形が１つの頂点の周りに隙間なく，ピッタリと集まったとします。１つの内角の大きさが(ｎ−２)×１８０°/ｎでしたから，
ｍ×(ｎ−２)×１８０/ｎ＝３６０
この式を変形すると，
ｍ(ｎ−２)＝２ｎ ・・・（＊）
ｍ，ｎは整数(ｎは３以上，正２角形はありません)ですから，敷き詰めることのできる正多角形を見つける問題は，この整数方程式を解く問題だったわけです。（＊）の式を更に変形して，
(ｍ−２)(ｎ−２)＝４
正の整数をかけて４になるのは
１×４，２×２，４×１
の３通りしかありません。よって
ｎ−２＝１，２，４
∴ ｎ＝３，４，６
こうしてタイル張りが正三角形，正四角形，正六角形の３種類しかないことが分かりました。