| 正四面体 | 正六面体 | 正八面体 |
 |  |  |
| 正十二面体 | 正二十面体 | |
 |  |
| 正四面体 | 正六面体 | 正八面体 |
| | |
| 正十二面体 | 正二十面体 | |
| |
正多面体などいくらでも存在しそうな感じもしますが，５種類しか存在しないのはなぜでしょう。
タイル張りで正ｎ角形が１つの頂点の周りにｍ個集まって，ちょうど３６０°になることを用いて説明しました。今度は右の図からも分かる通り，１つの頂点にｍ個集まると３６０°より小さくなくてはなりません。
今，ｍ個の正ｎ角形が１つの頂点の周りに集まったとします。１つの内角の大きさが(ｎ−２)×１８０°/ｎでしたから，
ｍ×(ｎ−２)×１８０/ｎ＜３６０
この式を変形すると，
ｍ(ｎ−２)＜２ｎ
(ｍ−２)(ｎ−２)＜４
正の整数をかけて４より小さくなるのは
１×１，１×２，２×１，１×３，３×１
あてはまる自然数の組（ｍ，ｎ）を考えると
（ｍ，ｎ）＝（３，３），（３，４），（４，３），（３，５），（５，３）
それぞれに対応する多面体は
| （３，３）：正六角形が３個 | →正四面体 |
| （３，４）：正方形が４個 | →正六面体 |
| （４，３）：正六角形が４個 | →正八面体 |
| （３，５）：正五角形が３個 | →正十二面体 |
| （５，３）：正六角形が５個 | →正二十面体 |
こうして正多面体が５種類しかないことが分かります。
この他にもオイラーの多面体定理を用いた方法があります。これについては次のページをご覧下さい。
《参考資料》