円柱・円錐と球

　小学校からおなじみの円柱・円錐と球。この３つの立体図形に秘められた関係があるのをご存知ですか？
　次の図のように，半径ｒ，高さ２ｒの３種類の立体図形を考えてみましょう。

　そしてそれぞれの図形の体積を考えてみます。

　３種類の図形の体積の比は見事に　１：２：３　となっていますね。見方を変えれば円錐と球を合わせれば，円柱の体積になるともいえます。

　今度は表面積を考えてみましょう。球の表面積はおなじみですが，円錐と円柱の面積は少し面倒です。

　まずは円柱の表面積を求めてみましょう。円柱は側面積と上下の２つに円の面積を足せばよいので，
　　　Ｓ＝２ｒ×２πｒ＋２×πｒ²
　　　　＝４πｒ²＋２πｒ²
　　　　＝６πｒ²

　次に円錐の表面積を考えます。円錐の母線の長さは，三平方の定理よりｒですから，
　　　Ｓ＝１/２×ｒ×２πｒ＋πｒ²
　　　　＝（＋１）πｒ²

　結局３種類の表面積の比は　：２：３　となり，残念ながら体積のときのようなきれいな値にはなりませんでした。しかし，このという値，どこかでお目にかかっていませんか？　そうです，黄金比の値なのです。こんなところにも黄金比の値が顔をのぞかせていたのですね。