算術幾何平均

　２つの正の数ａ，ｂ(ａ＞ｂ)にたいして，

のようにして，順にａ₀，ａ₁，ａ₂，ａ₃，…とｂ₀，ｂ₁，ｂ₂，ｂ₃，…を作っていきます。
　するとものすごい速さで，ａ_nとｂ_nが同じ値に近づいていきます。
　例えば，ａ＝７，ｂ＝２とすると，

ｎ	ａ_n	ｂ_n
1 2 3 4 5 6	7 4.5 4.12082869338697 4.11208794649456 4.11208330160713 4.11208330160582	2 3.74165738677394 4.10334719960214 4.11207865671969 4.1120833016045 4.11208330160582

　すでに６回目でほぼ同じ値4.11208330160582になっていますね。
　それではもっと２つの値の差を大きくして見ましょう。ａ＝１００，ｂ＝２で計算してみると，

ｎ	ａ_n	ｂ_n
1 2 3 4 5 6 7	100 51 32.5710678118655 29.7135728246495 29.6447133495579 29.64467336238 29.6446733623665	2 14.142135623731 26.8560778374334 29.5758538744663 29.6446333752021 29.644673362353 29.6446733623665

　今度もまたあっという間に同じ値になりました。
　相加平均，相乗平均
　　(ａ＋ｂ)/２，　√ａｂ
のことを昔は算術平均，幾何平均と呼んでいました。これに対して，
　　α＝lim ａ_n＝lim ｂ_n
の値のことを算術幾何平均と呼びます。