 |  |  |
| | |
ここでは２次，３次，４次の関数とその接線とで囲まれた部分の面積がどうなるか考えてみましょう。
○２次の関数と接線
放物線ｆ(ｘ)＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃが，その上の２点Ａ(α，ｆ(α))，Ｂ(β，ｆ(β))における接線とで囲まる部分の面積を求めてみましょう。
ｙ'＝２ａｘ＋ｂ
より，２点Ａ，Ｂにおける接線の方程式は
ｙ＝（２ａα＋ｂ）ｘ−ａα2＋ｃ
ｙ＝（２ａβ＋ｂ）ｘ−ａβ2＋ｃ
となり，また接線の交点Ｐのｘ座標は
ｐ＝(α＋β)/２
ですから，求める面積は
で与えられます。これを計算すると
となります。これはちょうど２点Ａ，Ｂを通る直線とで囲まれる部分の面積の半分になります。
○３次の関数と接線
３次の関数ｆ(ｘ)＝ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄが，その上の点Ａ(α，ｆ(α))で接し，点Ｂ(β，ｆ(β))で交わっているとします。このときの３次の曲線と直線とで囲まれる部分の面積を求めてみましょう。
ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ−α)2(ｘ−β)
と因数分解できますから，求める面積は
で与えられます。これを計算すると
となります。
○４次の関数と接線
３次の関数ｆ(ｘ)＝ａｘ4＋ｂｘ3＋ｃｘ2＋ｄｘ＋ｅが，その上の２点Ａ(α，ｆ(α))，Ｂ(β，ｆ(β))における接線とで囲まる部分の面積を求めてみましょう。
ａｘ4＋ｂｘ3＋ｃｘ2＋ｄｘ＋ｅ＝ａ(ｘ−α)2(ｘ−β)2
と因数分解できますから，求める面積は
で与えられます。これを計算すると
となります。