特性解の持つ意味

　漸化式は前の項に何らかの演算を施して，次の項を定めていくものです。そう考えると，関数の一種と見なすこともできます。

　漸化式x_n+1=ax_n+bに，初期値x₀から始めて次々と次の項を求めていきましょう。
　　x₀，x₁=ax₀+ b，x₂=ax₁+ b，x₃=ax₂+b，･･･

例えば，x_n+1=0.5x_n+2 (x₀=2)のとき
　　x₀=2，x₁=3，x₂= 3.5，x₃=3.75，･･･
となります。

　この1つ1つのx₀，x₁，x₂，･･･ ，x_n+1をy=ax+b上の点と考えると，
　　x=2　→x=2，y=3　→　x=3，y=3　→　x=3，y=3.5　→　･･･
と帰納的に求まっていき，漸化式も関数の一つだという意味がわかると思います。

　今度は同様のことを，グラフ上の点の移動としてとらえてみましょう。漸化式において次の項を帰納的に求めていくことは，2つの直線
　　y=ax+b　･･･�@，　　　　y=x 　･･･�A
に対して，初期値x₀から出発し，
　　x₀　→　直線�@　→　直線�A　→　直線�@　→　直線�A　 ･･･
と点が変化していくのと同じことです。これを次のようにグラフ上でシミュレートしてみましょう。

　左側の図は，関数y=ax+bとy=xの2つの直線に対して，初期値x₀から出発して帰納的に次の点に移動していくリターンマップを表しています。右側の図は横軸に項数n，縦軸にx_nの値を単純にプロットしたものです。

　リターンマップをみると，点がどんどん2つの直線の交点に近づいていくのがわかります。
　また，その点のy座標に右側のグラフも近づいていっています。これは数列{x_n}が一定の値に「収束」していくことを示しています。

　この場合の収束点は2つの連立方程式y=0.5x+2，y=xの解4なのです。この値がαの正体だったわけす。

　先ほどのリターンマップでパラメータをいろいろ変えてシミュレートしてみましょう。

xn+1=-0.5xn+3 (x0=1)

xn+1=2xn-1 (x0=2)

xn+1=xn+1 (x0=1)

xn+1=-xn+3 (x0=1)

　係数aの値を細かく変えてシミュレートしてみると，一定の値に近づく場合，どんどん値を変えて不安定になる場合，2つの値をとりながら安定する場合の3通りがあることがわかりましたか。それらを，それぞれ収束，発散，振動といいます。まとめると次のようになります。