連続する整数の積の和
１×２×３，２×３×４，３×４×５，…のように連続する整数の積の和を考えてみましょう。まずは連続する２数の積の和を考えます。
ここで
と変形すると
同様に連続する３数の積の和を考えると
と変形することで，次の式が得られます。
この式は，連続する３数の積の和は連続する４数の積の１/４で与えられる事を示しています。同様にして連続する４数，５数の積の和は，次のようになります。
一般的に連続するｍ数の積の和は，連続するｍ＋１数の積の１/(ｍ＋１)で与えられます。
さて，それぞれの結果を更に展開するとどうなるでしょう。計算はとても煩雑になりますね。Mathematicaで連続する整数の積を計算させた結果を，次に示しましょう。（Expand[ ]は展開させるコマンドです）
ここで出てきた係数を表にして見ると，次のようになります。これは「第１種のスターリング数」と呼ばれています。
こうした性質を用いると狽pの計算を簡単に求めることができるようになります。それは次のページをご覧下さい。
《参考資料》