連分数とフィボナッチ数列

のように，分数の中に同じ形の分数が入れ子になっているような分数を考えて見ます。このような分数を“連分数”といいます。
　次の表の様に，具体的にｘに１を代入して，少しづつ値を見ていきましょう。

連分数	x=1の値（分数）	x=1の値（小数）
		1
		2
		1.5
		1.666666667
		1.6
		1.625
		1.615384615
		1.619047619
		1.617647059
		1.618181818
		1.617977528

　得られた数値はある値にどんどん近づいていきます。この値は正確にはいくらなのでしょう。

　より　　

分母を払って整理すると　　　ｘ²－ｘ－１＝０
解の公式より　

ｘ＞０より　

この値はおなじみの“黄金比”の値になっているのです。

　上の表で分数の分母の値を並べて見ましょう。
　　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・
この数列は，前の２数の和が次の数になっています。この数列を“フィボナッチ数列”といいます。この数列は自然現象をはじめ，多くの興味ある性質を含んでいます。
　上の表の分数の値において，分母をｘ座標，分子をｙ座標にとってグラフ上に表わしたのが下の図です。プロットされた点が直線に収束していくのが分かります。