三角形の内分点と面積比

　三角形における内分点で面積比を求める方法は大別すると２つに分かれます。
　高さが一致している場合と，底辺の長さが一致している場合ですね。三角形の面積は，「底辺×高さ÷２」で求まるので，それぞれ底辺の長さの比，高さの比が，そのまま面積比になります。
　それではいくつかの面積比を出す問題をパターン別に一般化してみましょう。（それぞれの図においては，面積は値の実数倍になりますが，その表記を省略しています。）

【パターン①】１辺の内分点と向いの頂点を結ぶ線分の内分点が与えられている場合

　△OAB：△OBC：△OACの値を求めてみましょう。
　　　　BD：DC = p：qより，△OBD：△ODC = p：q = ps：qs
　　　　AO：OD = r：s より，△OAB = pr，△OAC = qr
　　　　　∴　△OAB：△OBC：△OAC = pr：(p + q) s：qr

【パターン②】２辺の内分点が与えられている場合

　△OAB：△OBC：△OACの値を求めてみましょう。　　　　BD：DC = r：sより，△OAB：△OAC = r：s = pr：ps
　　　　AF：FB = p：qより，△OAC：△OBC = p：q = ps：qs
　　　　　∴　△OAB：△OBC：△OAC = pr：qs：ps

【パターン③】３辺の内分点が与えられている場合

　△AEF：△BDF：△CDEの値を求めてみましょう。
　ADに補助線を引いて，
　　　　AF：FB = p：qより，△ADF：△BDF = p：q = (u + t)qr：(u + t)pr
　　　　BD：DC = r：sより，△ABD：△ACD = r：s = (u + t) (p + q)r：(u + t) (p + q)s
　　　　CE：EA = t：uより，△CDE：△ADE = t：u = (p + q)st：(p + q)su
　同様にCFに補助線を引いて，
　　　　BD：DC = r：sより，△BDF：△CDF = r：s = (u + t)qr：(u + t)qs
　　　　AF：FB = p：qより，△ACF：△BCF = p：q = (u + t) (r + s)p：(u + t) (r + s)q
　　　　CE：AE = t：uより，△CEF：△AEF = t：u = (r + s)pt：(r + s)pu
　　　　　∴　△AEF：△BDF：△CDE = (r + s)pu：(u + t)qr：(p + q)st
　ちなみに真ん中の△DEFは，△DEF = prt + uqs