対数はどんなところに使われているだろうか？

水素イオン濃度とpH
溶液中の酸性の度合いを表わすものに，「pH（ペーハー）」というものがあります。酸性の度合いとは，溶液中に水素イオンH⁺がどれだけあるか，ということを意味しています。水素イオンの濃度をいま[H⁺]で表わすと，pHは
　　　pH=-log[H⁺]
で与えられます。
例1．　Hcl　→　H⁺　+　cl^-　　（ほぼ完全に電離）
　　0.1mol/l　0.1mol/l
　　　pH=-log[H⁺]=-log₁₀0.1=1　　　（強酸性）
例2．　H₂0　→　H⁺　+　OH^-　　　（電離しにくい）
　　　　　　　　10^-7mol/l
　　　pH=-log[H⁺]=-log₁₀10^-7=7　　　（中性）
マグニチュードと振幅
地震の大きさを示す「マグニチュード」という言葉はよく聞きますね。このマグニチュードＭは，震源から100km離れたところの地震計の振幅をａとすると
　　　Ｍ=log₁₀ａ　　（単位　ミクロン）
で表わされます。

例1．ａ=1mm　(=10³ミクロン)
　　　Ｍ=log₁₀10³=3
例2．震源から100km離れたところで，Ｍ7の地震はＭ6より何倍大きくゆれるであろうか。
　　7=log₁₀10ａ　　　∴ａ=10⁷
　　6=log₁₀10ａ’　　∴ａ’=10⁶
　　　ａ/ａ’=10⁷/10⁶=10（倍）
マグニチュードとエネルギー
マグニチュードはまた。地震によって放出されるエネルギー量を対数的に表わしたものです。
マグニチュードをＭ，エネルギー量をＥとすると
　　log₁₀Ｅ=11.8+1.5Ｍ　（単位　エルグ）
　　　　　・・・グーテンベルグ・リヒターの式
という関係が成り立ちます。
例1．日本海中部地震（昭和58年5月）　Ｍ=7.7
　　log₁₀Ｅ=11.8+1.5×7.7=23.35
　　　Ｅ=10^23.35=10^0.35×10²³=2.24×10²³　（エルグ）
例2．宮城県沖地震（昭和53年6月）　Ｍ=7.3
　　log₁₀Ｅ=11.8+1.5×7.3=22.75
　　　Ｅ=10^22.75=10^0.75×10²²=5.62×10²²　（エルグ）
情報量
確率Pで起こる事柄が現に起こったことを知ったときの「情報量」Iは
　　I=log₂1/P　　（単位　ビット）
で与えられます。
例1．サイコロを投げて「1の目」が出たことを知ったときの情報量は，P=1/6として
　　I=log₂1/(1/6)=log₂6≒2.56　　（単位　ビット）
例2．「1か2のいずれかの目」が出たことを知ったときの情報量は，P=1/2として
　　I=log₂1/(1/2)=log₂2≒1　　（単位　ビット）
即ち，確率が小さい（あまり起こりえない）事柄を知ったときのほうが，情報量が大きい，といえますね。
統計的推測
今年のあるＡ町の人口は1.6万人。毎年2%ずつ人口が増加するとしたら，何年後に人口2万人を超えるでしょうか。

ｘ年後の人口は1.6×1.02^Ｘとなるので
　　1.6×1.02^ｘ＞2　　∴1.02^ｘ＞2/1.6=1.25
両辺の対数をとると，
　　　ｘlog₁₀1.02＞log₁₀1.25
　log₁₀1.25=log₁₀125/100=3log₁₀5-2=3×0.699-2=0.097
　log₁₀1.02=log₁₀102/100=log₁₀102-2
　　　　=log₁₀2+log₁₀3+log₁₀17-2=0.0085
　　　ｘ＞0.097/0.0085≒11.4
即ち，2%ずつ増加しても2万人に達するのは12年かかる，ということです。
放射性物質と半減期
放射性物質は放っておくとどんどん分解して少なくなってしまいます。（別な物質になってしまう）
分解する割合はほぼ一定です。最初にあった量が半分に減ってしまうのに要する時間のことを「半減期」といいます。
例1．

²³⁸U 4.5×10⁹（年） ²³⁵U 7.1×10⁸（年）

²²⁶Ra 1.6×10³（年） ¹⁴C 5.6×10³（年）

⁶⁰Co 5.3（年） ³²P 14（日）

例2．ある物質Ａが1日約4%ずつ分解していくとしたら半減期はいくらになるでしょうか。

　　0.96^ＸＡ=Ａ/2　　　∴0.96^Ｘ=1/2
　　Ｘlog₁₀0.96=-log₁₀2
　　　　log₁₀0.96=log₁₀96-2=-0.0170
　　∴　ｘ=0.302/0.0179≒16.9　（日）

²³⁸U	4.5×10⁹（年）	²³⁵U	7.1×10⁸（年）
²²⁶Ra	1.6×10³（年）	¹⁴C	5.6×10³（年）
⁶⁰Co	5.3（年）	³²P	14（日）