虚円のイメージ化

　「x2+y2=-1 て円はどんな円？」
　曲線 ｘ2＋ｙ2＝ｄ は ｄ>０のとき，半径√ｄの円を表わしますが，ｄ<０のときは実平面上では表わすことができません。
　しかし，世界を実平面から虚平面へと広げることで，新たな「虚円」の世界を垣間見ることができます。ｘｙ平面上に描かれる「実円」上の点 (ｘ，ｙ)を複素数の組と考えれば，新たに２つの次元がひつようになります。こうなるとイメージ化することはたやすいことではなくなりますね。そこでｘ，ｙのどちらか一方を複素数と考えて，虚円の世界に少しでも近づいてみましょう。

(1) 実円を持つ場合
　円の方程式を
　　 ｘ2＋ｙ2＝１･･･@
とします。ｘを実数，ｙを複素数とし　ｙ＝ｕ＋ｖｉ (ｕ，ｖは実数)･･･A　とおきます。
@に代入すると
　ｘ2＋(ｕ＋ｖｉ)2＝１　　(ｘ2＋ｕ2−ｖ2)２ｕｖｉ＝１
　　　∴ ｘ2＋ｕ2−ｖ2＝１･･･B　　 ２ｕｖ＝０･･･C
　ここで，Cの場合分けをBに代入して
　ｕ＝０ のとき　　　ｘ2−ｖ2＝１　(双曲線)
　ｖ＝０ のとき　　　ｘ2＋ｕ2＝１　(円)
　ここまでを３次元空間上のイメージとしてとらえてみます。Aで ｙ＝ｕ＋ｖｉ とおくことで新たに虚平面ｕｖ平面を作りました。これと実軸ｘとで，３次元のｘｕｖ空間を考えることになります。
　Bの曲面は一葉双曲面になりますが，これと平面ｕ＝０，ｖ＝０とを同時に表わしたのが次の図です。ｖ＝０のときは，ｘｙ(ｘｕ)平面上に実円 ｘ2＋ｙ2＝１ が描かれています。

　同様にして実円を持たない場合に拡張してみましょう。

(2) 1点になってしまう場合
　円の方程式を
　　 ｘ2＋ｙ2＝０･･･D
とします。ｙ＝ｕ＋ｖｉ (ｕ，ｖは実数)を代入して
　　ｘ2＋(ｕ＋ｖｉ)2＝０
　　(ｘ2＋ｕ2−ｖ2)＋２ｕｖｉ＝０
　　　∴ ｘ2＋ｕ2−ｖ2＝０ (楕円錘面)･･･E　　 ２ｕｖ＝０･･･F
　ｕ＝０のとき　　　ｘ2−ｖ2＝０　∴ｘ＝±ｖ (2直線)
　ｖ＝０のとき　　　ｘ2＋ｕ2＝０　∴ｘ＝ｕ＝０ (1点)

(3) 虚円を持つ場合
　円の方程式を
　　 ｘ2＋ｙ2＝−１･･･G
とします。ｙ＝ｕ＋ｖｉ(ｕ，ｖ は実数)を代入して
　　ｘ2＋(ｕ＋ｖｉ)2＝−１　　(ｘ2＋ｕ2−ｖ2)＋２ｕｖｉ＝−１
　　　∴ ｘ2＋ｕ2−ｖ2＝−１ (二葉双曲面)･･･H　　 ２ｕｖ＝０･･･I
　ｕ＝０ のとき　　　ｘ2−ｖ2＝−１　(双曲線)
　ｖ＝０ のとき　　　ｘ2＋ｕ2＝−１　これを満たす実数 ｘ，ｕ は存在しない

《参考資料》