三角形の重心とアファイン変換

　三角形の３つの辺の中点とその辺が向かい合う点をそれぞれ結ぶと１点で交わります。この点を三角形の重心といいましたね。重心は各中線を２：１の比に内分することを習いました。
　さてこの２：１という比の値，どうしてなのでしょう？　それを考える前に，図形の“変換”について少し考えてみましょう。
　次の図のように図形を縦・横に拡大したり，横にスライドさせて見ます。

縦と横に拡大横にスライド

　この変換によって，線分の長さや，図形の面積，直線のなす角度などは変わりますが，

などは変わらないのです。この性質をもとに，重心は各中線を２：１の比に内分することを見ていきましょう。

@３本の中線の交点Ｇを作図 A各頂点を通り対辺に平行な直線と重心Ｇを通り底辺に平行な直線を作図

B各直線が直交するように横にスライド C正三角形になるように縦にスライド

　三角形が正三角形になったので，正六角形を補助線として考えると重心Ｇが２：１に内分していることがわかりますね。拡大・縮小しても，ずらしても線分の比は変化しませんので，もとの三角形も重心Ｇが２：１に内分していることになります。

《参考資料》