２乗してｉになる数
「２乗して−１になる数」すなわち，方程式ｘ2＝−１を満たす数を虚数単位ｉと定義すると授業で習いましたね。それでは「２乗してｉになる数」すなわち，方程式ｘ2＝ｉを満たす数は存在するのでしょうか？
あるとすると複素数解になりますから，その解をｘ＝ｐ＋ｑｉ（ｐ，ｑは実数）とおくと
(ｐ＋ｑｉ)2＝ｉ
ｐ2−ｑ2＋(２ｐｑ−１)ｉ＝０
∴ ｐ2−ｑ2＝０ ・・・@，２ｐｑ−１＝０ ・・・A
Aで ｑ＝１/２ｐとすると，@に代入して
４ｐ4−１＝０
(２ｐ2＋１)(２ｐ2−１)＝０
ｐが実数より，２ｐ2＋１＞０ なので
２ｐ2−１＝０
∴ ｐ＝±1/√２，ｑ＝±1/√２
∴ ｘ＝±(１/√２＋１/√２ｉ)
これを別な観点から考えて見ましょう。
ｘ2＝cos90°＋ｉsin90°
より，ド・モアブルの定理を用いると
ｘ＝cos45°＋ｉsin45°＝１/√２＋１/√２ｉ
ｘ＝cos225°＋ｉsin225°＝−１/√２−１/√２ｉ
これをさらに発展させて，方程式
ｘ2＝ａ＋ｂｉ (ｂ≠０)
の解はどうなるのか，また，
複素数係数の２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ に解の公式は使えるのか？
といった問題も出てきますね。これらについては次のページをご覧下さい。
《参考資料》