多角形の変形で解くベクトル問題

　平面上の任意のベクトルは，平行でない２つのベクトルの和で表すことができます。では右の正8角形においてをとの和で表してみましょう。
　案外難しそうに見えますが，見方を変えるとあっという間に解けてしまいます。
　問題を簡単にするため，次の図のようにを底辺に持ってきます。そしてこの多角形をが垂直なる様に全体を傾けていきます。

　ここで正8角形の縦，横の長さの比は，傾けても変わらないことを利用します。正8角形の外角が45°であることより，次のような比を持つ図ができあがります。

　傾けた多角形よりは次のように与えられることが分かります。
　　　　　=-(1+)-

　では同様に正12角形で試してみましょう。次の左図でを，で表します。全体を先ほどと同様に傾けるのですが，その前に全体の縦・横の比の値を調べてみましょう。

　　　

　正12角形の外角は30°ですから，上の右図で色づけをした三角形が30°，60°の直角三角形になります。このことから，次のような比を持つ図ができあがります。
　これよりは次のように与えられることが分かります。
　　　　　=-(2+)--(3+2)

　ここで傾けた多角形を描くにはどうしたらよいでしょう。平行線の比が等しいことを考えれば簡単に描くことができます。次の図のように，底辺（先ほどの）の延長と左隣の辺（先ほどの）に平行で各頂点を通る直線との交点をとります。この点から垂直に引いた直線と，各頂点から底辺に平行な各直線との交点が傾けた多角形の頂点になります。

《参考資料》