･･･(1)
複素数 ｘ＋ｙｉを平面上の点(ｘ，ｙ)で表わすことを考えます。このように複素数を表わすのに使われる平面をガウス平面といいます。ガウス平面でｘ軸上の点は実数を表わし、ｙ軸上の点はｙｉという形の純虚数を表わします。いま、ある複素数 ｘ＋ｙｉ に ａ＋ｂｉという複素数をかけ、ｕ＋ｖｉという複素数になったとします。つまり、
ｕ＋ｖｉ＝(ａ＋ｂｉ)(ｘ＋ｙｉ)＝(ａｘ−ｂｙ)＋(ｂｘ＋ａｙ)ｉ
これより
･･･(1)
式(1)は
･･･(2)
という1次変換と同じであることを示しています。
この変換は、右の図のように角αだけ回転し、
倍に拡大するという変換を表わしています。
つまり、複素数 ｘ＋ｙiにある複素数 ａ＋ｂｉ をかけるということは、回転と拡大の合成変換になっているのです。
《参考資料》