自然対数の図形的意味

　次の図は，ｙ＝２ｘ，ｙ＝３ｘの２つのグラフ上に，ｘ＝０，１，２の各点とその点における接線がｘ軸と交わる点を結んだものを表わしています。どちらのグラフも直角三角形の底辺の長さは同じ長さになっています。
　ｙ＝２ｘのグラフは底辺の長さが１以上になっているので，三角形が重なり合っています。それに対してｙ＝３ｘのグラフは底辺の長さが１より小さいので，三角形は重なってはいません。

　それでは三角形の底辺の長さが１となる，そんなピッタシの値はなんでしょう。実はそれが自然対数の底ｅの正体なのです。授業で習った様にその値は
　　　ｅ＝２．７１８２８・・・
となります。
　底辺の長さが１ということは，ある点ｘ＝ｔにおける直角三角形を考えると，下の右の図のように高さはｅｔとなりますから，接線の傾きはそのままｅｔとなります。
　　　接線の傾き＝微分係数
ですから，結局
　　　ｙ＝ｅｘは，何度微分してもｅｘ
になることが分かります。

《参考資料》