いろいろなサイクロイド曲線

　円が直線上を滑らないで転がるとき，その円周上の定点が描く軌跡を「サイクロイド」というのはよく知られていますね。
　この定点が円周上でなくて，円の内部にあったり外部にあったりしても似たような曲線が得られます。これを「トロコイド」といいます。サイクロイドもトロコイドの特別な場合といえます。

　

　更に円が転がるところを“定直線”から“定円”へと変えてみましょう。円が定円の内側を周に沿って転がるとき，動円の円周上の定点が描く軌跡を「内サイクロイド」，定円の外側を転がるときは「外サイクロイド」といいます。また，定点を動円の外部または内部にとることにより「外トロコイド」「内トロコイド」が得られます。

　　

　　

　定円上を転がるサイクロイドについて見てみましょう。定円と転がる円との半径の比率によって様々な軌跡が得られます。

　　

　　

　　

　　

　定円の半径と動円の半径の比率をｍとすると，次のような関係があります。

  1. ｍが正の整数のとき　　定点の周りの外回りのｍ個の枝からなる
  2. ｍが負の整数のとき　　定点の周りの内回りのｍ個の枝からなる
  3. ｍが分数のとき　　　　動点は有限個の枝を描いて最初の状態に戻る
  4. ｍが無理数のとき　　　複雑な動きになり、枝の数が無数になる

《参考資料》