虚数解のイメージ化

　一般に実係数の２次方程式 f(x)＝0の実数解は，xy平面上におけるy＝f(x) のグラフとx軸との共有点のx座標にあたります。しかし，虚数解のときのその実態はどうなっているのでしょう。

　具体的に次の関数を例にとって考えてみましょう。
　　y=x2−2x+5･･･@
　y=(x−1)2+4 より，xが実数のときグラフは右のようになります。
　このとき，方程式
　　x2−2x+5＝0･･･A
は実数解を持たず，解はx＝1±2i という虚数解になります。
　ここでxを虚数解と考えx=u+vi (u，v は実数) としてみると，
　　 y＝(u＋vi)2−2(u＋vi)＋5
　　　＝u2＋2uvi−v2−2u−2vi+5
　　　＝(u2−v2−2u+5)＋2v(u−1)i･･･B
　yが実数になる場合を考えると，
　　2v(u−1)＝0　　　∴ v＝0 または u=1･･･C
　このとき，yの実数部分 Real y は，
　　 Real y=u2−v2−2u+5･･･D
となります。

　ここまでを図示してみましょう。x=u+vi は u，vを両座標軸にとった平面（複素平面）上の点 (u，v) で表わされます。
　そして，その原点Oでこの平面に垂直に実平面を立てた空間を考え，その3次元空間で y=f(x)=f(u，v) のグラフを考えれば良いことになます。
　DのReal y=u2−v2−2u+5 のグラフは右の図のようになります。

　ここで，Cの2つの場合を考えてみましょう。

(1) v=0のとき (xが実数のとき)

Dより　Real y=u2−2u+5 となり，x=u+vi=u だから
　　Real y=u2−2u+5= x2−2x+5
これは実数解を持つ場合です。
　先ほどの3次元空間上の曲面 Real y=u2−v2−2u+5 と平面v=0の交線こそ，uy平面 (xy平面)上の放物線になるのです。

(2) u=1のとき

Dより Real y=u2−v2−2u+5=1−v2−2+5＝−v2＋4
ここでy＝0となるのは，−v2＋4＝0より v＝±2
すなわちy＝0となる点はuv平面との交点 (1，±2) ，つまりx＝1±2i で，これがAの方程式x2−2x+5＝0の解となります。
　これは，曲面 Real y=u2−v2−2u+5と平面u=1，そして平面 y＝0の交点が (1，±2，0) となることを意味しています。

《参考資料》