1/n にあらわれる循環少数（前編）

　1/n（nは整数）の値は大きく分けて次の2つに分類されます。
　　　　@：　1/4 = 0.25　　　　　　　A：　 1/3 = 0.33333 …
　@のように割り切れる少数を有限小数，Aのように割り切れず少数部分が続く少数を無限小数といいます。Aの無限小数も，次のAのように同じ数字が小数第1位から循環するタイプと，小数第1位でない部分から循環するタイプの2つに分けることができます。
　　　　A：　1/7= 0.142857 142857 …　　　B：　1/28 = 0.03 571428 571428 …
A のタイプの少数を純循環小数，Bのタイプを混循環小数といいます。どちらのタイプにおいても，循環する数字のワンセットを循環節といいます。
　さて，n がどんな数の時に3つのタイプになるのか考えてみましょう。後ろに 1/n（2≦n≦100）の値と循環節の長さの表をのせてあるので，参考にしながら自分でも何か面白い発見をして見ましょう。

☆ nが2と5の素因数以外持たないとき

※　h(n) は固定部の長さ，c(n) は循環節の長さを表しています。

　最初のポイントは n の素因数に 2，5 が含まれるかどうかです。2 も 5 も含まれないとき，表のとおり 1/n の値は有限小数になることがわかります。これは，n = 2k･5lとすると，
　　　
となって，必ず割り切れることから明らかです。

☆ nが 2 と 5 の素因数を持たないとき

　すべて純循環小数になっているのがわかります。さらに n が 10e - 1 で割り切れるかどうかを表にまとめたので見てみましょう。循環節の長さは n が 10e - 1 を割れる整数 e の最小値と同じ値になっているのです。これは長さ e の循環節を A = a1 a2 … ae とすると，
　　　1/n = 0. A A A …，　　　10e･1/n = 0. A A A … ，　　 ∴　(10e - 1)･1/n = A
　つまり 1/n は 10e - 1 の約数でなければなりません。

　次に n の値と循環節の長さの関係について考えてみましょう。
　まず n の値が素数の場合は，循環節の長さは n - 1 の約数になっているのが分かります。
　では合成数の場合はどうでしょう。実は n = n1×n2 のとき，n の循環節の長さは n1，n2 の循環節の最大公約数になるのです。

　もう少し難しい話をするためには「オイラー数」というのを持ち出してこなくてはななりません。
　整数 n に対して 1, 2, 3 ･･･, n の中で n と互いに素（つまり公約数を持たない）な数の個数をオイラー数といってφ(n) であらわします。たとえば，
　　　n = 5 のとき，素な数 x は x = 1, 2, 3, 4 より　　φ(5) = 4
　　　n = 8 のとき，素な数 x は x = 1, 3, 5, 7 より　　φ(8) = 4
　　　n = 6 のとき，素な数 x は x = 1, 5　　　 より　　φ(6) = 2
　もし n が素数ならば公約数を持たないのでφ(n) = n - 1 となります。
　実は循環節の長さはオイラー数φ(n) の約数になっているのです。表を見て確認してみましょう。なぜ成立するのかは少し難しくなります。興味を持った人は調べてみましょう。

＜参考資料＞