複素数列の作る点列

　複素数　ｚ＝ｘ＋ｙｉ （ｘ ，ｙ は実数）は，ｘｙ 平面上のの点 (ｘ，ｙ) に対応させることができます。この平面をガウス平面といいます．
　複素数列 {ｚn} を　ｚn＝ｘn＋ｙnｉ（ｘn，ｙn は実数）と定めると，ｚn は ｘｙ 平面上の点 Ｐn(ｘn，ｙn) によって，点列 {Ｐn} を作ることになります．
　ここで，ｚn を次のように定めてみましょう．
　　　ｚn+1＝ｚn2＋ｚc　 （ｚc は複素定数）
　初期値を　ｚ0＝ｘ0＋ｙ0ｉ,　複素定数を　ｚc＝ｘc＋ｙcｉ　とすると
　　　ｚ1＝(ｘ0＋ｙ0ｉ)2＋(ｘc＋ｙcｉ)＝(ｘ02−ｙ02＋ｘc)＋(２ｘ0ｙ0ｉ＋ｙc)ｉ
　　　ｚ2＝(ｘ1＋ｙ1ｉ)2＋(ｘc＋ｙcｉ)＝(ｘ12−ｙ12＋ｘc)＋(２ｘ1ｙ1ｉ＋ｙc)ｉ
　　　　　　　　・・・・・・・・・
となり，漸化式に　ｎ＝1 から順に数値を代入していけば帰納的にすべてのｎについて ｚn が定まり，それに対応して平面上に点列が対応することになります．次の値は
　　　ｘ0＝０．１，ｙ0＝０．０４，ｘc＝−１．７６，ｙc＝０
として５００項までコンピュータで計算した結果です．
 n            xn                      yn
 1            -1.7516                  .008 
 2             1.30803856             -.0280256 
 3            -4.98205598084864E-2    -.073317130934272 
 4            -1.7628933135088         7.30540101339505E-3 
　　　　　　　　・・・・・・・・・
 491           1.33560128916885       -1.64763040460176E-59 
 492           2.38308036294941E-2    -4.40115458491981E-59 
 493          -1.75943209279837       -2.09766101312543E-60 
 494           1.33560128916885        7.38138421260965E-60 
 495           2.38308036294941E-2     1.97171725404241E-59 
 496          -1.75943209279837        9.397521338794E-61 
 497           1.33560128916885       -3.30686012724633E-60 
 498           2.38308036294941E-2    -8.83329329810253E-60 
 499          -1.75943209279837       -4.21008955977615E-61 
 500           1.33560128916885        1.4814733370051E-60
　上の計算で E-2 は×１０-2 を表わしています．ですから E-60 はほとんど０に近い値と考えられますね．これよりｚn は
　　　(０，０)，　(−１．７６，０)，　(１．３４，０)
の３点にほぼ収束しているのがわかります．これを周期点の数が３である，といいます．第４００項以降の点をグラフ上にプロットしたものが次の図です．（青の点が最初の点，赤の点が４００項以降の点を表わします）

初期値と複素定数を変化させて，いくつかの点をプロットさせてみましょう．

(1)xc=-0.6,yc=0,x0=0.2,y0=0.5(2)xc=0.28,yc=0.5,x0=0.28,y0=0.5
(3)xc=-0.47,yc=0.57,x0=-0.47,y0=0.57(4)xc=-0.47,yc=0.54,x0=-0.47,y0=0.54

　複素数列 {ｚn} のつくる点列はｎを無限大としたとき，次の４つに分かれることが知られています．

  1. １点に収束する　　　　 　　　　　　
  2. 有限個の点の間を周期的に振動する　　
  3. ある領域を不規則に動き回る
  4. 発散する　　　　　　　　　　　　　　
　このうち３番目の状態を“カオス”といいます．このように初期値と複素定数を変化させると，点列の収束，発散などの状態が得られるのですが，収束するときのｚ0，ｚcの値やある振動数をとるｚ0，ｚcの値を探せと，いってもとってもたいへんですね．どうしたらその値を簡単に探すことができるでしょう．それは次のページをご覧ください．

《参考資料》