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三角形の面積を出す公式でヘロンの公式というのを授業で習いましたね。
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（ただし ） |
三角形の3辺を与えれば面積を求めることができ，またその公式はとても美しい“形”をしています。
A ブレートシュナイダー（Bretschneider）の公式
さて三角形でなく四角形ならばどうでしょうか。実はちゃんと存在するものなんですね。それは次のような“形”をしています。証明は高校生でもできますが少し面倒です。数学に自身のある人は是非チャレンジしてみてください。（解答例は後ろに載せておきます）
 （ただし  ） |
B ブラーマグプタ（Brahmagupta）の公式
ブレートシュナイダーの公式はヘロンの公式ほどきれいな形はしていません。最後の 
が邪魔ですね。最後の部分を取るためには A + C = π となればいい。つまり四角形の対角の和が180°，すなわち四角形が円に内接している場合に美しい公式となるわけです。この公式は名前を見れば分かるとおりインドの数学者ブラーマグプタが7世紀に公式化したといわれています。
この公式で d = 0 とすればヘロンの公式になりますね。
 （ただし ） |
C 発展
内接円を持つ四角形の場合，向かい合う辺の和が等しい（a + c = b + d）ので
a + c = b + d = s より，s−a = c，s−c = a，s−b = d，s−d = b
∴ 
が成り立ちます。さらに外接円と内接円の両方を持つ場合（双心四角形といいます）は， A + C = π より
が成り立ちます。
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≪ブレートシュナイダーの公式の証明≫
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・・・A
