色々な平均の大小関係

　右の図において，線分ＡＢは点Ｏを中心とする半円の直径で，点Ｃを円周上の点とします。また，ＡＨ＝ａ，ＢＨ＝ｂとします。このとき，
　　　ＯＣ＝(ａ＋ｂ)/２　・・・�@
　また△ＡＣＨ∽△ＣＨＢ（∠ＣＡＨ＝∠ＢＣＨ，∠ＡＨＣ＝∠ＣＨＢ＝∠Ｒ）だから，
　　　ＡＨ：ＣＨ＝ＣＨ：ＨＢ
　　　　∴　ＣＨ²＝ＡＨ×ＢＨ＝ａｂ
　　　　∴　ＣＨ＝　・・・�A
　△ＯＣＨにおいて，ＯＣ＞ＣＨだから，�@�Aより
　　　≧
　ただし，等号は点Ｈが点Ｏと一致するとき，すなわちａ＝ｂのとき。

　次に右の図のように点Ｈから半径ＯＣに下ろした垂線の足をＤとします。
　△ＣＯＨ∽△ＣＨＤ（∠ＯＣＨ共通，∠ＯＨＣ＝∠ＣＤＨ＝∠Ｒ）より，
　　　ＣＯ：ＣＨ＝ＣＨ：ＣＤ
　　　　∴　ＣＤ×ＣＯ＝ＣＨ²
　　　　∴　ＣＤ＝ＣＨ²/ＣＯ
　　　　　　　　＝　（∵�@�Aより）　・・・�B
　△ＣＤＨにおいて，ＣＨ＞ＣＤだから，�A�Bより
　　　≧
　ただし，等号は点Ｈが点Ｏと一致するとき，すなわちａ＝ｂのとき。

　結局，相加，相乗，調和の３つの平均の大小関係は，次のようになります。