色々な平均の大小関係(2)
相加，相乗，調和の３つの平均の大小関係を別な図を用いて示してみましょう。
@相加平均（算術平均）
右の図のように，線分ＡＢを任意にひき，長さａの線分ＡＤと長さｂの線分ＢＣを，それぞれ点Ａと点Ｂから垂直に立てます。線分ＡＢの中点をＭとしてＡＢの垂線を立てます。その垂線と線分ＣＤとの交点をＮとすると，線分ＭＮの長さが相加平均
（ａ＋ｂ）/２
になります。
A相乗平均（幾何平均）
次の左図において，線分ＡＢは点Ｏを中心とする半円の直径で，点Ｄを円周上の点とします。また，ＡＣ＝ａ，ＢＣ＝ｂとします。△ＡＤＣ∽△ＤＢＣ（∠ＤＡＣ＝∠ＢＤＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＢ＝∠Ｒ）だから，
ＡＣ：ＣＤ＝ＣＤ：ＤＢ
∴ ＣＤ2＝ＡＣ×ＤＢ＝ａｂ
∴ ＣＤ＝√ａｂ
つまり，線分ＣＤが相乗平均になります。これを別の角度から考えてみましょう。
(logａ＋logｂ)/２＝logａｂ/２＝1/2 logａｂ＝log√ａｂ
より，ａとｂの相乗平均はそれぞれの対数の相加平均で与えらるのが分かります。（右図）
B調和平均
次の左図のように，線分ＡＢを任意にひき，長さａの線分ＡＤと長さｂの線分ＢＣを，それぞれ点ＡとＢから線分ＡＢに垂直に立てます。線分ＡＣとＢＤの交点をＧとし，点Ｇを通って線分ＡＢと垂直な直線と線分ＡＢ，ＣＤとの交点をＥ，Ｆとします。このとき線分ＥＦの長さが調和平均になります。
その理由を考えてみましょう。右図において，点Ｃを通ってＡＢに平行な直線とＡＤ，ＥＦとの交点をＨ，Ｉとします。△ＣＨＤ∽△ＣＩＦより
ＤＨ：ＦＩ＝ＡＢ：ＥＢ＝ａ＋ｂ：ｂ
∴ ＦＩ＝(ａ−ｂ)ｂ/(ａ＋ｂ)
∴ ＥＦ＝ＥＩ＋ＦＩ
＝(ａ−ｂ)ｂ/(ａ＋ｂ)＋ｂ
＝２ａｂ/(ａ＋ｂ)
また，
(１/ａ＋１/ｂ)/２＝２ａｂ/(ａ＋ｂ)
であるから，右の図のように逆数の相加平均を考えることでも説明がつきます。
◎３つの平均の大小関係
さて，相加平均，相乗平均，調和平均の大小関係を，これまでの図を用いて考えてみましょう。３つの平均を同じ条件で作図するため，調和平均に合わせて作図します。
次の右図のように線分ＡＢを
ＡＥ＝ａ，ＥＢ＝ｂ
となるように点Ｅをとります。また，ＡＤ＝ａ，ＢＣ＝ｂとなるように線分ＡＤ，ＢＣをＡＢに垂直に立てます。ＡＢの中点をＭとして，ＡＢの垂線とＣＤとの交点をＮとすると，
線分ＭＮ＝相加平均
となります。次にＡＢを直径とする円を考えます。点ＥからＡＢに垂直な直線と円との交点をＧとすると，ＥＧが相乗平均になります。ＥＧからＡＢに平行な直線を考え，ＣＤとの交点をＩ，ＩからＡＢへの垂線の足をＨとすると，ＥＧ＝ＨＩですから
線分ＨＩ＝相乗平均
となります。最後にＡＣとＢＤとの交点を通り，ＡＢ，ＣＤとの交点をＥ，Ｆとすると
線分ＥＦ＝調和平均
になります。
これらを一つにまとめると，次のようになります。
この図からも，相加，相乗，調和の３つの平均の大小関係は，次のようになるのが分かります。
