直線で分けるのであれば簡単に色々と出てきそうですね。では曲線で分けることを考えてみましょう。
面積と言えば積分ですね。授業で習った積分の計算法を用いて，４等分することを考えてみましょう。今，簡単のために１辺が１の正方形を考えます。
《パターン１》
右の図のように整関数ｙ＝ｘｎが０≦ｘ≦１において，ｘ軸と囲まれた部分の面積を計算してみましょう。
∫ｘｎｄｘ＝１/(ｎ＋１)
この値が１/４になればよいので
１/(ｎ＋１)＝１/４ ∴ｎ＝３
つまりｙ＝ｘ３で面積を１/４にできることになります。
ですから正方形を４等分するには直線ｙ＝ｘとこの曲線をｙ＝ｘで対称に折り返した関数（ｙ＝ｘ３の逆関数）
ｘ＝ｙ３ 即ち ｙ＝ｘ1/3
で４等分することができます。
真中のｙ＝ｘは直線なので，曲線にしてみましょう。原点対称な関数，つまり奇関数ではどうでしょう。
ｙ＝ａｘ３を中心(１/２，１/２)に移動したものを考えてみます。
ｙ＝ａ(ｘ−１/２)３＋１/２
これが原点を通るので
０＝ａ(０−１/２)３＋１/２ ∴ａ＝４
つまりｙ＝４(ｘ−１/２)３＋１/２となります。
《パターン２》
次に２次関数の切片形ｙ＝ａｘ(ｘ−１)を考えてみましょう。
∫ａｘ(ｘ−１)ｄｘ＝−ａ/６
−ａ/６＝１/４，２/４，３/４より
ａ＝−３/２，−３，−９/２
３つのａの値でグラフを描くと右上のようになり，一つがはみ出してしまい失敗です。そこでａ＝−３/２のときのグラフをｙ軸方向に１/２平行移動したものと直線ｙ＝１/２，その直線について対称移動したものを考えます。つまり
ｙ＝−３/２・ｘ(ｘ−１)＋１/２
ｙ＝１/２
ｙ＝３/２・ｘ(ｘ−１)＋１/２
真中の直線も曲線にしてみます。３次の切片形を使いましょう。
０，１/２，１の３点を通り，ｙ軸方向に１/２平行移動するグラフは
ｙ＝ａｘ(ｘ−１/２)(ｘ−１)＋１/２
しかし，あまりａの値が大きすぎると右下のグラフのようにはみ出してしまいます。２つのグラフのｘ＝０における微分係数，つまり傾きを考えてみましょう。
ｙ＝３/２・ｘ(ｘ−１)＋１/２ → ｆ'(０)＝３/２
ｙ＝ａｘ(ｘ−１/２)(ｘ−１)＋１/２ → ｆ'(０)＝ａ/２
ａ/２≦３/２よりａ≦３でなくてはなりません。
《パターン３》
先ほどと同様に３次関数の切片形ｙ＝ａｘ(ｘ−１)(ｘ−２)を考えてみましょう。
∫ａｘ(ｘ−１)(ｘ−２)ｄｘ＝ａ/４
ａ/４＝１/４，２/４，３/４より
ａ＝１，２，３
３つのａの値でグラフを描くと左下のようになり，やはり一つがはみ出してしまい失敗です。そこでａ＝１の場合のグラフを先ほどと同様に，ｙ軸方向に１/２平行移動したものと直線ｙ＝１/２，その直線について対称移動したものを考えます。
ｙ＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)＋１/２
ｙ＝−ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)＋１/２
真中の曲線にはｙ＝ａｘ(ｘ−１/２)(ｘ−１)＋１/２を用いましょう。ｘ＝０における傾きを考え
ｙ＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)＋１/２ → ｆ'(０)＝２
ｙ＝ａｘ(ｘ−１/２)(ｘ−１)＋１/２ → ｆ'(０)＝ａ/２
ａ/２≦２よりａ≦４でなくてはなりません。
また２つの式を次のようにすると右下のようになります。
ｙ＝ｘ(ｘ−１)(ｘ＋１)
ｙ＝−ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)＋１
《パターン４》
２次関数ｙ＝ａｘ２を考えてみましょう。
∫ａｘ２ｄｘ＝ａ/３
ａ/３＝１/４よりａ＝３/４
このａの値のときのグラフと逆関数，３次関数を平行移動したグラフ，つまり
ｙ＝３/４・ｘ２
ｙ＝√（４ｙ/３）
ｙ＝４(ｘ−１/２)３＋１/２
で描かれたグラフが右の図です。
このように曲線でもいろいろ考えられますね。まだまだユニークなのもあると思います。ぜひ考えてみてください。