３倍角の公式(1)

　三角関数の授業の中に出てくる３倍角の公式
　　　sin３θ＝３sinθ－４sin³θ
はとても覚えづらく，またあまり面白みのない公式といえますね．この公式の中に出てくる３とか４とかいう数字が，あまりに唐突な感じがするからです．

　そこでこの数字にある程度の根拠を持たせてみましょう．
　　　sin３θ＝０　　(０≦θ≦２π)
とおくと，
　　　３θ＝０，π，２π，３π，４π，５π
　　　∴　θ＝０，π/３，２π/３，π，４π/３，５π/３

ここで各々のθの値のsinの値をとると，
　　　sinθ＝０，√３/２，－√３/２

ここでｔ＝sinθ＝０，√３/２，－√３/２とおくと，ｔは
　　　ｔ(ｔ－√３/２)(ｔ＋√３/２)＝０　　・・・(＊)
の解といえます．(＊)の両辺に－４をかけて展開すると
　　　３ｔ－４ｔ³＝０

　この方程式の左辺に，３倍角の公式が現れてきましたね．

《参考資料》