| 問題文 |
第1段階で一辺の長さが1の正三角形ＡＢＣの中央に正四面体を立てて見る。ただし，Ｋ，Ｌ，Ｍは辺ＡＣ，ＡＢ，ＢＣの中点とする。
 第1段階 |
(1) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
さらに，この「正三角形の上に，正四面体を立てる。」操作を，第1段階で完成した6個の正三角形に適用したものを第2段階とする。
 第2段階 |
(2) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
同様に，この第2段階でできた正三角形に正四面体を立てる操作を繰り返してできたものを第3段階とする。
 第3段階 |
(3) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
 初期段階 |
(4) |
左図の様に1辺の長さが2の立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの内部に，正四面体ＢＤＧＥがある。 この正四面体ＢＤＧＥの4つの正三角形について，同様に正四面体を立てていく。この操作を3回実施して完成した第4段階の立体の体積は，初期段階の体積の何倍になるか。また，第ｎ段階になったときの立体の体積を予想せよ。
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第2段階
第4段階
| 着眼点 |
今回は，このコッホ曲線を，3次元化した問題を出題した。この操作を限りなく繰り返すと，かなりデコボコした極限立体を作ることができる。
より，ｎ→∞としたとき，Ｖｎ→12/3＝4
| 解答例 |
| (1) |
頂点Ｎから，△ＫＬＭへ垂線を下ろした点をＨとする。床面の△ＫＬＭの頂点Ｌから辺ＭＫへ垂線を下ろした点をＩとする。 辺ＩＫ＝1/4，ＩＫ：ＫＬ：ＬＩ＝1：2：  よりＫＩ＝ /4また，ＩＨ：ＨＬ＝1：2より ＬＨ＝ /6三平方の定理ＮＨ2+ＨＬ2=ＮＬ2より ＮＨ2＝1/4－3/36 ＮＨ2＝1/4－1/12 ∴ＮＨ＝1/  正四面体ＫＬＭＫの高さは1/ である。体積をＶ0とおくと Ｖ0＝1/3×△ＫＬＭ×ＮＨ ＝1/3×1/2･(1/2)2×sin60°×1/ ＝1/24× /2×1/＝1/48  ＝ /96 …（答）
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| (2) |
第1段階の図形には，1辺が1/2の正三角形が6個集まったものである。 前問より1辺の長さが1の正三角形の上に形成される正四面体の高さは1/ であるから，1辺が1/4の正三角形の上に形成される，正四面体の高さは1/4小さな正四面体の体積をＷ0とすると Ｗ0＝1/3×1/2×(1/4)2sin60°×1/4 求める体積をV1とおくと， V1＝V0＋6×Ｗ0 ＝ /96＋/256＝11/768
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| (3) |
第2段階の図形には，1辺が1/4の正三角形が62(＝36)個，集まったものである。 同様にして，1/8の正三角形の上に形成される正四面体の高さは1/8 体積をＷ1とすると， Ｗ1＝1/3×1/2･(1/8)2sin60°×1/8 求める体積をV2とおくと V2＝V1＋36Ｗ1 ＝11 /768＋3/1024＝53/3072
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| (4) |
1辺の長さが2の立方体より，ＡＢ＝ＡＤ=2 三平方の定理よりＢＤ＝2 正四面体ＢＤＧＥは，1辺の長さが2 からなる正三角形で形成されている。体積をＶ0とおくと Ｖ0＝1/3×1/2×(2 )2×sin60°×2/∴V0＝4/3 |
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第1段階の操作として，正四面体ＢＤＧＥの4つの正三角形の上に，1辺の長さがの正四面体を4個加えるので，体積をＶ1とおくと Ｖ1＝Ｖ0＋4×1/3×1/2×( )2sin60°×/V1＝V0＋2/3 ∴V1＝2 |
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第2段階の操作として，第1段階の1辺がの6×4個の正三角形の上に，1辺が/2の正四面体を6×4個加えるたもので，体積をＶ2とおくと Ｖ2＝Ｖ1＋6×4×1/3×1/2×( /2)2×sin60°×/2×1/∴V2＝5/2 |
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第3段階以降は帰納的に考えられないだろうか。  ∴V3＝23/8 以下同様に考えると  ∴V4＝23/8＋9/32＝101/32 V0：V4＝4/3：101/32＝128：303 …（答） |
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第ｎ段階の体積Vｎと第ｎ－1段階の体積Vｎ－1との関係式を作成してみる。 Ｖ0＝4/3   ∴ …①①にｎ=1，2，3，…，ｎまで代入すると  ∴ 
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