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2　数学用フリーウエアを用いた数学教材作成の具体例

　現時点で授業に使用できるフリーウェアのツールの中から下記の３本をその教材作成例と共に紹介します．いずれのツールもその開発者の熱意が感じられる素晴らしいソフトです．
　またこれらのツールを効果的に使うには，教材研究における授業要点を明確化し，それぞれのソフトの特性を把握したうえで使い分けていくことが重要です．

2_1　作図ツール「GeometricConstructor」

2_1_1【特　徴】

　GCは単なる「演示型(ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ)型」ソフトではありません．勿論そのようにも使えますが，「発見学習型」「問題解決型」などの多岐にわたる学習形態で授業を展開する際にも有効です．勿論，その際に教材の分析，発問の仕方などをトータルに考えていく必要があることは言うまでもありません．これまで中学校で扱われてきた図形に関する教材が平成15年度からの新カリで高校へ移行してきますが，この図形分野を扱うツールとしてＧＣは実績をあげてきています．以下GCマニュアルより特徴の抜粋です。

1. 「授業」での利用のためのソフト
   先生がいて,生徒がいて,プロジェクタを介して一つの図について議論したり,グループで調べたりする環境です。必要に応じて,先生が指示をしたり,ワークシートを配ったりする環境です。そして何よりも,生徒の思考を妨げないことが重要です。こういう数学的探究を実現したいという私自身の思いや現場の先生方や授業実践を反映させながら,「授業」での使いやすさを追究していこうとするソフトです。
2. インターネットとの連携
   GCはソフトを単独で使うというよりも,インターネット上にいろいろな資料を整備し,それを使ってもらうことを想定しているソフトです。作図ツールを使った教材展開，授業例などは下記のHPを参考にしてください．
   　→「GC Forum」　http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/index.htm
3. さまざまな環境で利用できるソフト
   現在，GCには,次の3種類があります。GC/DOS, GC/Win, GC/Java。
   これらのどれかを使えば，おそらくほとんどの学校で使うことができると思います。もちろん,データは(一部機能を除く)共通ですし,様々な形で連携を取れるようにしています。
4. キーボード操作も可能なソフト
5. 基本は「変形」→「１点の変形」ですが，「複数の点を動かす」ことも可能
6. 豊富な作図機能を装備
   　・解析幾何的な図形指定も可能だが，　図形の幾何的性質からの指定が豊富．
   　・生徒の思考を重視し，発見学習的な環境を提供
7. 距離，角度，面積，長さなど作図した図形に関する測定機能を装備
8. 作図した図形は，マウス・キーボードで簡単に動かせ軌跡も設定可能

　

2_1_2　【教材作成例】

《例１》垂直2等分線の描く軌跡〜包絡線による２次曲線の描画

（発問１）「Fig.1で点Aを左右に動かすと何が見えてきますか？」

(Fig.1)

（発問２）「点Aが円周上を動かすとき，何が見えてきますか．　さらに円の位置を変えるとどうなるでしょう」

（Fig.2）	（Fig.3）

＜作成手順概要＞

1. ２点A，Bをとる　※[作図]→[点]→[新しい点の追加　([Ctrl]+Fも可)]
   
2. ２点A，Bを結ぶ線分を引く　※[作図]→[線分･多角形]　→[2点を結ぶ]

■[Fig.1]点Aを直線上で左右に動かす

• 直線上を動かすには，点A上で右ボタンをクリックし「点Aのキーボード変形」を使うと便利
• [軌跡]→[設定]→[直線]（[Shift]+[F2]も可）から垂直二等分線を選択して'軌跡の色'を'緑'に設定する．実際に軌跡を表示するには[F9]を押して表示機能をOnにする．表示してある軌跡を消去するには．[Shift]+[F9]を押す．

■[Fig.2]，[Fig.3]点Aを円周上で動かす

• 点Aを円周上に設定する　※[編集]→[点(束縛条件)](点Aを選択)→[円上にとる](円を選択)
  ※この操作をしなくとも[Shift]キーを押しながらマウスで点を移動させると，近接した円(直線)上を移動可能

　これは1_6で作用素としての図形変換を十進Basicで行った教材です．この変換は「単位円に関する共役反転変換」になっており平行移動，回転などとは異なり生徒にとってイメージしにくい教材です．この変換についての理論的側面は次のレポートが参考になります．ではこの教材のイメージ化をＧＣで行ってみましょう．
　　→「メビウスのわだち」（中村文則）　http://www.nikonet.or.jp/spring/mebius/mebius.htm

（発問１）「点zが直線上を動くときの像1/zの軌跡は」
　(ｱ)直線が原点を通らないとき
　(ｲ)直線が原点を通るとき

（発問２）「点zが，円周上を動くときの像1/zの軌跡は」
　(ｱ)原点が円の外部にある場合
　(ｲ)原点が円の内部にある場合
　(ｳ)原点を通る場合

　発問をしてからの考える間を大切にしたいものです．この段階ではのような数式ではなく，実際に生徒自身が点を動かすことでイメージをつかませたいところです．（Fig.4）
　数式はその後で理論補強をする場面で登場する訳です．

＜作成手順概要＞

1. 座標倍率を複素数用に設定　※[ｽﾞｰﾑ]→[複素数用]
2. 新しい点をとり名前をzとする
   ※[編集]→[点](点Aを選択)→('名前'を'z'に)
3. 点1/zをとり，名前を'1/z'にする
   ※[作図]→[複素数]→逆数(1/z)
4. �C２点の軌跡を設定

■[Fig.4]点Aを直線上で左右に動かす

• 直線上を動かすには，点ｚ上で右ボタンをクリックし「点ｚのキーボード変形」を使うと便利

■[Fig.5]点ｚを円周上で動かす

• 点ｚを円周上に設定する　※[編集]→[点(束縛条件)](点ｚを選択)→[円上にとる](円を選択)
  ※この操作をしなくとも[Shift]キーを押しながらマウスで点を移動させると，近接した円(直線)上を移動可能

　現在GCはネットワーク環境での使用を積極的に推進しており，使用するパソコンに依存しないJavaで作成したヴァージョンがあります．これにより，インストール作業を必要としない形での利用が可能となっています．パソコンにインストールするソフトを制限されている場合などにおいてもネットワーク環境があればどのパソコンからでもGCが授業で使えます．前出の「GC Forum」では，すぐに体験できます．
　またGCの基本的は操作については，次のレポートにも参考にしてください．
　　→「Let's enjoy using GC」(菅原満)　　http://www.nikonet.or.jp/spring/gc_ex/gc_ex.htm

2_2　グラフ表示ソフト「Grapes」

2_2_1【特　徴】

　GRAPESは，パソコンの画面上に陽関数，陰関数，媒介変数表示の関数および極方程式のグラフを描き，それを様々な角度から調べるためのソフトです．特に分かりやすいユーザーインターフェイスと，グラフ上での細かな指定が可能なため高い表現力を持ち，基本機能の充実とともにプレゼンテーション能力が非常に高いソフトです．以下に特徴をまとめておきます．

1. 陽関数，陰関数，媒介変数表示，極座標のグラフのほか円，点，線分，直線，矢印も描画可能例）点から直線への垂線，２点を結ぶ線分(直線)の描画
2. マウス操作によるグラフ(点)の移動可能
   　　
3. すべての図形はパラメータと残像機能の併用による軌跡や曲線群の描画可能 ．マウスで動かすことも可能．プログラム（スクリプト）でパラメータや残像のコントロールができ，軌跡の描画や繰り返し処理を自動で行うことができる．
   　　
4. ズーム・ワイド・移動など表示エリアのサイズをいつでも変更可能(フルサイズ表示も可能)
5. 関数値比較・定積分など，グラフを調べるための道具の充実
   　　
6. メモ機能を装備し問題の提示などに利用可能
7. 印刷・SAVE・LOADなどの補助機能の充実
8. マウスとメニュー・ボタンによる直感的で簡単な操作
9. 関数式の記述は，通常の記述と同じ（例：乗算記号の省略）
10. 場合分けの関数を記述可能
11. 多くのサンプルデータを用意(約360個)

2_2_2　【教材作成例】

　Grapesは，後述するFunctionViewと同様にグラフ描画ツールとして，すでに全国的に利用されているソフトです．その授業実践報告も多数発表されています．ラベルへの数式挿入，スクリプトの実行など工夫次第で何でも出来てしまうのがGrapesの特徴です．スクリプトを使ったプレゼンテーション型教材を作成してみましょう．

《例１》「不等式の表す領域と解の実数条件」

　「点P(x , y)が原点を中心とした半径１の円の周および内部を動くとき，点Q(x+y, xy)の動く領域を図示せよ」

解）x+y=u，xy=vとおくと，
　x²+y²=u²-2v≦1…�@，
　t²-ut+v=0の実数条件よりD=u²-4v≧0…�A
　よって求める領域は右図．

　生徒は�@は大丈夫なのですが，�Aの実数条件を忘れることが多く，「x, yがどんな実数をとっても表しきれない(u, v)がある」または「u, vが実数であってもx, yが実数とは限らない」などと説明しても釈然としない様子です．
　To see is to believe.　�Aの実数条件をイメージ化してみましょう．新しい思考パターンを身に付けるには試行錯誤が必要です．生徒は教師のシナリオどおりには理解してくれません．
　提示用教材は「これだ！」と思ったときに"短時間で作成可能"であることが重要です．授業のなかで数分間しか使わないプレゼン教材を数時間もかけて作成するのでは，日常の教材研究に逆効果になりかねません．準備時間は短時間でできることにこしたことはありません．
　Try and errorをする場面も設定しておくとよいでしょう．それには"点のドラッグ"を利用します．
　では，機能を確認しながら作ってみましょう．

＜作成手順概要＞

1. ドラッグ可能な点Ｐを設定する
   ※グラフエリアで右クッリクから作成
2. Ｐを変換した点Ｑを設定する
3. 単位円を描く

　

　さらに，次の改良を加えてみます．

(a)点Pを移動方向を制限する
■ドラッグモード

• 水平方向〜点Pのy座標を"＋１"と符号をつける．Grapesでは符号付数値または数式で設定された座標方向へはﾄﾞラッグ不可になります．
• 垂直方向〜点Pのx座標を"＋１"とする
• 曲 線 上〜x座標を1，y座標を'f (x)'として関数定義でf (x)を定義する

■パラメータを使って動かす

• パラメータを使いx−y軸方向に制限
  〜x座標を a, y座標をbとパラメータを使って設定する．
• 円周上に制限
  〜点Ｐのプロパティで極方程式を選択してr= a
• 曲線上に制限
  〜ドラッグモードの'曲線上'と同様にしてx座標をaにする
  ※これらを用途に応じて使い分けていきます．

　　

(c)点Pの座標をラベルに表示する

• 式を表示するには，半角中括弧"{ }"で囲む．
• 関数を多項式として表示するには，"?{ }"で囲む．
• 式の値を表示させるには，対象式を"!{ }"で囲む．
• 表示桁数を指定するには，!{式|桁数} と書く．
• 値の符号を非負の場合にも表示させるには，+!{式} と書く．

(d)スクリプトによる自動実行
Grapesの特徴の一つにこの簡易スクリプトがあります．これを使って「不等式の表す領域と解の実数条件」の提示用教材を作成すると次のようになります．

<B><L>《不等式の表す領域と解の実数条件》</L></B>
点{P(x,y)}が原点を中心とした半径１の円周上および内部を
動くとき，点{Q(x+y,xy)}の動く領域を考えてみましょう


<Green>�@点{P}をドラッグしてみましょう
�A半径{k}変化させて周上を動かしてみましょう
�B最後に平面上の点を全て変換してみましょう</Green>


#//初期化
#k := 1
#Px := 1
#Py := 0
#draw　/描画/
#ClrAimg　//残像消去


#-------------------------
#//円周上を動かす(半径固定)
#for t := 0 to 2 * Pi　step 0.2
# Px := k * cos(t)
# Py := k * sin(t)
# draw
#next t
#t:=0
#Px:=k*cos(t)
#Py:=k*sin(t)
#draw


#------------------
#//円周上を動かす(半径Auto)
#ClrAimg
#for k := 1 to 0.2 step -0.1
# for t :=0 to 6.28　step 0.2
#   Px := k * cos(t)
#   Py := k * sin(t)
#   draw
# next t
#next k
#Px := 1
#Py := 0
#draw


#------------------
#//平面全体を変換する（原像あり）
#ClrAImg
#for t := 2.5 to -2.5step -0.2
# for s := 2.5 to -2.5 step -0.2
#   Px := s
#   Py := t
#   draw
# next s
#next t
#Px :=1
#Py :=0
#draw
#---


#------------------
#//平面全体を変換する（高速）
#ClrAImg
#for t := 3 to -2.5 step -0.2
# for s := 3 to -3 step -0.2
#   Px := s
#   Py := t
#   calc　//描画せずに計算のみ
# next s
# draw
#next t
#Px :=1
#Py :=0
#draw
#---

#HideScript　//
#On k Change　//変数kが変化したとき実行する
#Px:=k
#Py:=0

　　

　Grapesの表現力の高さを利用して2次関数のグラフの一般形での係数の意味を考えるゲームを作ってみましょう．

《例２》 の係数を変化させて与えられた放物線に一致させるゲーム

　Grapesでは，「メモ」機能で数式や変数の値を表示させることが可能です．また，データパネルの部分的な表示・非表示も可能になっています．

＜作成手順概要＞

1. 「関数定義」で動かす関数g(x) [青]と，答f(x) [赤]の関数を定義する
   →　f(x)= -2x^2+x+3, g(x)=ax^2+bx+c
   
2. 補助として各グラフのy切片とそこでの接線を入力する．入力後非表示にする
   　　
3. 「メモ」欄に問題とグラフの関数式を記述する．このとき2行開けると別メモとして扱われる．
   メモ欄からグラフエリアへドラッグし見やすい場所に移動する．
   　　 ※?{y1}と入力することで係数に数値を代入した"整式"として表示できます．
4. メニュー"表示"で"関数定義エリア"，"線分定義エリア"を非表示に設定する．

　　

2_3　関数グラフ表示ソフト「FunctionView」

2_3_1【特　徴】

　前出の「Grapes」とほぼ同様の機能を持ちながら，さらに次のような機能を備えています．

　解析的表現が主体のGrapesにGCの作図ツール的機能を付加したグラフ作図ツールといったソフトになっています．このため，教材作成にかかる時間が軽減されて使いやすいソフトになっています．
　この機能を使った教材作成例を紹介します．

2_3_2　【教材作成例】

《例１》2定点A(0, 6)，B(9, 0)と円x2+y2=9の周上を動く点Ｐがある．このとき，△ABPの重心Gの軌跡を求めよ．

　通常この教材では△ABCの重心をなどのように解析的に表現して設定する必要がありますが，FunctionViewでは「△ABCの重心」という図形的表現が可能です．

＜作成手順概要＞

1. 2定点A(0, 6)，B(9, 0)をプロットする．※右クリックからも可能 　　
2. "陰関数"で円を設定　x²+y²=9
3. 円周上の動点Ｐを設定
   パラメーター"θ"を用います．
   x座標：3 cos (θ)
   y座標：3 sin (θ)
   
4. "直線・線分・円"で△ABPを描く
   
5. 点エリアで右クリックをして△ABCの重心Gを設定する
   • [点の名前]→ G，[△の頂点]→ABC，[Pen色]→赤，[Penの太さ]→3　，[残像]→On　に設定します．

　　

＜プレゼンテーション概要＞

1. ﾒｲﾝﾒﾆｭｰから[ﾊﾟﾗﾒｰﾀ（P）]選択すると表示される「ﾊﾟﾗﾒｰﾀ変更ﾊﾟﾈﾙ」でθの値を増減して動点Ｐを動かします．
   [残像]をﾁｪｯｸすると重心の描く軌跡が浮かび上がります．

　　

　３つのフリーソフトにはそれぞれの特徴がありますが，これらのソフトに共通していることは現場の授業で培われた意見を吸い上げて，日々バージョンアップを重ねていることです．各々の作者とも校務を抱える中での作業は並大抵の労力ではないことと察し敬意を表します．
　教材研究の最中に「ちょっと精確に図(グラフ)を描いて調べたい」という要求を満たしてくれることは，授業のみならず個別指導のときにも威力を発揮します．また，日常的なプリント教材作成の際も工夫次第で手軽かつ精確な図(グラフ)を挿入できます．是非一度，手近なパソコンに入れて使ってみてください．

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