第2章　Mathematicaでグラフィックスを②

３次元のグラフを作成するには３つの方法があります。

Plot3D[f(x,y),{ｘ,始めの値，終わりの値の,始めの値，終わりの値}]
ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,始めの値，終わりの値}]
Show[Graphics3D[ ]]

例題4　z=sin x cos y (0≦x,y≦2π)のグラフを作成せよ。

Plot3D[Sin[x] Sin[y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]

Plot3D[Sin[x] Sin[y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},Mesh->False]

ｘ軸ｙ軸ｚ軸の比を一定にする　BoxRatios->{1,1,1}

Plot3D[Sin[x] Sin[y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},BoxRatios->{1,1,1}]

立体図形を細かくして表現する　PlotPoint->30　デフォルト値15

例題5　 z=sin X cos Y (0≦x,y≦2π)のグラフを立体図形を細かくして作成せよ

Plot3D[Sin[x] Cos[y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},PlotPoints->30]

Parameterを含んだ立体の作成　ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,始めの値，終わりの値}]

例題6　 x=cos t cos u， y=sin t cos u， z=sin u 　(0≦t≦2π， -π/2≦t≦π/2)のグラフを作成せよ。

ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[u],Sin[t] Cos[u],Sin[u]},

{t,0,Pi},{u,-Pi/2,Pi/2},Boxed->False]

回転体の作図　<<Graphics'SurfaceOfRevolution'のパッケ－ジを最初にロ－ドする。

　　Mathematicaの最も得意とするグラフィック機能を利用したタイムリ－な問題があったので紹介します。

北海道大学98年度

２．関数のグラフをＣとする。
　次の問に答えよ。ただし，対数は自然対数とし，ｅはその底とする。
（１）Ｃ上の点ＡにおけるＣの接線が原点Ｏ（０，０）を通るものとする。このとき，点Ａのｘ座標を求めよ
（２）Ｃとｘ軸で囲まれた図形を、ｘ軸のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答
始めにどんなグラフになるのか作成すると


Plot[Sqrt[1-Log[x]^2],{x,1/E,E},

GridLines->Automatic,AspectRatio->1,

AxesLabel->{X,Y},PlotRange->{{0,3},{0,3}}]

・AxesLabel->{X,Y}：各軸に名前を入れる。

　を微分してｘ＝ｔにおける接線の方程式を求めると、
…①
この求めた接線を　0.5＜ｔ＜1の範囲でいろいろ作図してみよう。


Plot[Evaluate[Table[-Log[t]/{t Sqrt[1-Log[t]^2]} 

{x-t}+Sqrt[1-Log[t]^2],

{t,0.5,1,0.05}]],{x,0,E},GridLines->Automatic,

AspectRatio->1,AxesLabel->{X,Y},

PlotRange->{{0,3},{0,3}}]

Show[%,%%]

いろいろな接線を同時に表示するには接線のリストを作成する。

Table[関数,｛変数、始めの値、終わり値、刻み幅}]
グラフが複数あって何か操作をしてから関数となる場合には、Evaluate[　]の中に入れる。

　 ①の接線が原点を通過するのでｘ＝0、ｙ=0を代入しｔ（接点ｘ座標）を求めると
　

より

従ってAのｘ座標は

となる。

　今度は、Mathematicaの微分計算機能を利用して接線を表現してみよう。
Mathematicaを利用して導関数を求める1つ方法は、f[x]を定義しておき、f'[x]と入力して導関数を得る方法を用いる。
とおいて導関数を求めると


f[x_]:=Sqrt[1-Log[x]^2];

f'[x]

           Log[x]

　　-(-------------------)

    x Sqrt[ 1 - Log[x] ² ]

と出力されるのを、利用して

のおける接線を作図した。
接線の方程式はy=f'(p)(x-p)+f(p)を利用してみると


f[x_]:=Sqrt[1-Log[x]^2];

p=E^((1-Sqrt[5])/2);

g[x_]:=f'[p] (x-p)+f[p];

Plot[{f[x],g[x]},{x,1/E,E},

GridLines->Automatic,AspectRatio->1,

AxesLabel->{X,Y},PlotRange->{{0,3},{0,3}}]

この接線が問題（1）の解である。

（2）は回転体の問題である。Mathematica の3Dグラフィックス機能を利用する。
ｘ軸を中心として回転した曲面の作成であるので、パッケ－ジGraphicsの中のSurfaceOfRevolutionというパッケ－ジをロ－ドする。


<<Graphics`SurfaceOfRevolution`

SurfaceOfRevolution[Sqrt[1-Log[x]^2],{x,1/E,E},

{t,Pi,2 Pi},RevolutionAxis->{1,0,0},

ViewPoint->{-1.334,-2.381,2.000}]

右の立体図の体積を求めると、

となる。
この定積分計算をさせると


Integrate[Pi (1-Log[x]^2),{x,1/E,E}]

4 Pi

----

 E

今度は、極座標を利用した問題に挑戦してみましょう。

京都大学1998年度後期

3.自然数ｎに対して、とする。
（1）I₂の値を求めよ。
（2）ｘｙ平面上で原点からP(x,y)への距離をｒ、ｘ軸の正の方向と半直線OPのなす弧度法による角をθとする。方程式r=sin2θ（0≦θ≦π/2）で表される曲線を、直線ｙ＝ｘの周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積をVとするとき、V=3πI₃+2πI₂と表せることを示せ。

解答
（1）は置換積分を使って

t=cosθとおくdt=-sinθｄθ
　と積分範囲が変わって
　
と計算できる。

Mathematicaの定積分計算機能Integrate[f[x],{x,a,b}]を利用してみると、


Integrate[Cos[2 x]^2 Sin[x]^3,{x,0,Pi/4}]

38    26 Sqrt[2]

--- - -------------

105      105

（2）は極座標で表示されているので、パッケ－ジ"Graphics`Graphics`"をロ－ドする。
これによって、極座標を作図することが可能となる。


Needs["Graphics`Graphics`"]

PolarPlot[Sin[2 t],{t,0,2 Pi},

GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

このr=sin2θをｘ成分ｙ成分ごとにパラメ－タ－表示してみると
x=r cosθ，y=r sinθへr=sin2θを代入して
x=cosθ sin 2θ，y=sinθ sin2θになりθをパラメ－タ-とする関数に置きかえられる。

今度は、パラメ－タ－ｔを用いてグラフを作成してみる。
パラメ－タ－ｔの範囲は、0≦t≦π/2とする。


ParametricPlot[{2 Sin[t] Cos[t]^2,2 Sin[t]^2 Cos[t]},

{t,0,Pi/2},GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

右図を、直線ｙ＝ｘを回転軸として回転した立体を作成する。任意の軸に関する回転は、RevolutionAxis->{ｘ成分、ｙ成分、ｚ成分}として表示することができる。
パッケ－ジをロ－ドして、180度回転した立体を作成してみる。


<<Graphics`SurfaceOfRevolution`

SurfaceOfRevolution[{2 Sin[t] Cos[t]^2,

2 Sin[t]^2 Cos[t]},

{t,0,Pi/4},{p,0,Pi},RevolutionAxis->{1,0,1}]

RevolutionAxis->{ｘ成分、ｙ成分、ｚ成分}]を表し回転軸の成分を指示する。
{p,0,Pi}は回転角を表す。このケ－スは180度の回転を指示している。

全体を45度回転して、曲線は

これはx=cos2θ socθ，y=cos2θ sinθとなり

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