多角形をたたむ

（内心・傍心で遊ぼう）

＝稲北高校早苗先生の実践に関連したメモ＝

{岩見沢西高等学校 \atop 加藤渾一}

2000/01/29

テーマ

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多角形はすべての辺だけが一直線上に重なるように折りたたむことができる

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上記のテーマは事実だろうか．早苗先生（稲北高校）の実践に関連して検討してみました．授業で使えるかどうかは別として種として検討しておいて損はないでしょう．アメリカの１７歳が証明した？ということですが、どなたか資料等があれば紹介して下さい．

メモ１紙がある１点を頂点として折りたためるとき

• 頂点から出ている折り線の本数は４以上の偶数

• 山折り線と谷折り線の本数の差は２

• 頂点の周りの折り線のなす角の１つおきの和は 180^{∘}

メモ２三角形をたたむ（内心、傍心）

• 三角形は内心 I を頂点として下図のようにたたむことができ、３つの辺 AB,BC,CA は一直線上に重なる．

• このとき、 IA,IB,IC を決めて折りたたむと、垂線 ID （IE,IF でもよい）は自動的に決定する．また、 IA,IB, 垂線 ID （IE,IF でもよい）を決めて折りたたむと、 IC が自動的に決まる．

E^{||}  F^{||} D ^{||} A B  C I⟺  I B  C  A D E F  山折り線谷折り線

• また、下図のように開いた図形（３辺形？）も図のように三角形を想定して、その傍心を頂点として折りたたむことができ、３つの辺 (A)BE,BC,(A)CF は一直線上に重なる．

• このとき、 IB,IC, 垂線 ID （IE,IF でもよい）を決めて折りたたむと、 AI の延長線が自動的に決まる．

• 角 B,C が直角の場合も同様にして考えることができる．

||  ^{||}  _{||}^{A}^{B}  ^{C}^{E}  _{F}_{I}^{D}  ⟺ _{C} _{B}  ^{I}_{D}_{E}_{F}

メモ３内接円をもつ多角形は（中心からすべての辺への距離が等しいから）、円の中心を頂点として（下図例参照）たたむと、すべての辺は一直線上に重なる． (図中凹角の頂点の角の二等分線は谷折りにします．山折り線とすると、折りたたみの条件より増やすべき垂線の足が辺の延長線上＝多角形の内部となりたためなくなります．以下同様とします）メモ４一般化に際して、下図のような４角形について考えてみます．

• 三角形 ABE の内心 I （角 A,B の二等分線の交点として）を求め、 I から辺 AB に垂線をおろしてたたむと、自動的に線分 IE が定まる．（実際には IE は途中までしか折らないほうがよい）次に，角 ADC の二等分線を折り IE との交点を J とし、この点を頂点とし辺 BC に垂線 JG をおろして図の折り線でたたむと自動的に JC が決定し、４つの辺は一直線上に重なる．

• なぜなら、上の折り方から点 J は三角形 DEC の傍心となっているので、自動的に決まる直線は頂点 C を通ることになる． IE は二つの三角形の共通の角の二等分線になっている．つまり、 BC,AE は二つの三角形の共通の辺になになっている．そこで、今後線分 IJ を背線（人間の背骨のような線なので勝手に命名）と呼ぶことにする．

• また、参考図のように三角形 ABE,DEC の内心を求めて折りたたむこともできるが、この場合辺 DE も一直線上に重なることになる．この折り方を許すと折り方の一意性がなくなる．

I  J A  B  C D  E F  G

I A  B  C D  E 参考図

メモ５メモ４の作図法を適用すれば一般化は容易ではないか？つまり、隣り合う２頂点の角の二等分線が最初に交わる点から最初の背線を決定し、次々と順序よく出会う二等分線により背線の頂点（つまり、内心または傍心．早苗先生は「へそ」と呼ばれていた？）を求めていくことにより最後まで行きつくことができる．次ページにその様子を図示してみた．次々と内心、傍心を求めながら折りたたんでいく様子が納得していただけるでしょうか．なお、太線の辺が元になる三角形を構成する辺である．（最初に各頂点の角の二等分線を作図します．最後の折れ線図にしたがって折りたたむと、すべての辺だけが一直線上に重なります）

4

◯^{0} ; ◯^{1} ; ^{◯^{2}  ⋆} ; ^{◯^{3}  ⋆  ⋆}  \begin{aligned}& & ◯^{4} & ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ & ⋆ & ◯^{5} & ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & ◯^{6} \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & ◯^{7} \end{aligned}

メモ 6 対称軸のある多角形対称軸をもつ図形は折りたたみに一意性がない．（長方形の折りたたみを考えると明らか）しかし、この場合はまずすべての対称軸（これが背線となる）で折りたたみ、その後にこれまでの折り方を適用すると一意性が保たれる．背線が先に折られる（かつ直線である）ため簡略化した折り方が可能となる．（下図参照：先ず直線 LM で折りたたむ．この状態で背線の一辺を除いて一直線上に重ねる）

L  M

L  M