折り紙でひらめく補助線の幾何

資 料

加藤 渾一 (北海道岩見沢西高等学校)

第 56 回数学教育実践研究会 2006 年 1 月 28 日 (土) 於：ニッセイＭＫビル

目 次

昭和 36 年発行数学 I 幾何（帝国書院）目次 2 折り紙と数学 関連図書紹介 3 「折り返し」と「切り取り」移動 (A 氏宛の手紙より) 4 「角度の問題」について 14 折り紙の発想で補助線感覚を養おう! 17 正角四角形問題 19 正角四角形問題（10 度単位 300 題） 22 「数学セミナー」誌 (エレガントな解答をもとむ) より 23

昭和 36 年発行数学 I 幾何（帝国書院） 目次

編著者

守屋美賀雄・寺阪英孝・能代清

第１章幾何学の基礎 ; § 1 図形の観察 ; 1. 幾何学 ; 2. 基本図形 ; 3. 図形のかきかた ; § 2 定理と証明 ; 1. 帰納と演繹 ; 2. 公理と定理 ; 3. 論理の進め方 ; 第２章直線図形 ; § 1 三角形 ; 1. 平行線 ; 2. 三角形の合同 ; 3. 合同の応用 ; 4. 三角形の辺と角との大小関係 ; § 2 平行四辺形の性質とその応用 ; 1. 平行四辺形 ; 2. 三角形の２辺の中点を結ぶ線分 ; 3. 三角形の５心 ; § 3 面  積 ; 1. 多角形の面積 ; 2. ピタゴラスの定理 ; 第３章円 ; § 1 円と直線 ; 1. 弦・弧・中心角 ; 2. 割線と接線 ; 3. ２つの円 ; § 2 円周角 ; 1. 円周角 ; 2. 円と四角形 ; § 3 円の周と面積 ; 1. 円と多角形 ; 2. 円の周と面積 ; 3. 弧度法第４章相似形と三角関数 ; § 1 比例と相似形 ; 1. 平行線と比例 ; 2. 相似の中心 ; 3. 円と比例 ; 4. 図形の移動 ; § 2 三角関数 ; 1. 三角関数 ; 2. 正弦法則・余弦法則 ; 3. 三角形の解法 ; 第５章軌跡と作図 ; § 1 必要条件・十分条件 ; 1. 逆・裏・対偶 ; 2. 必要条件・十分条件 ; § 2 軌  跡 ; 1. 軌跡の意味 ; 2. 直線になる軌跡 ; 3. 円になる軌跡 ; 4. その他の軌跡 ; § 3 作  図 ; 1. 基本的な作図 ; 2. 軌跡を応用する作図法 ; 3. その他の作図法 ; 第６章空間図形 ; § 1 空間図形の観察 ; § 2 空間図形の研究 ; § 3 投影図 ; • 幾何学の歴史 ; • 自由研究 ; (1) 円周率の計算 ; (2) 三角測量 ; (3) 断面図（以上全 233 頁）

折り紙と数学関連図書紹介 (私の所持している図書) 発行年順

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1. GEOMETRIC EXERCISES IN PAPER FOLDING Sundara Row DOVER 1893 2. 折り紙と数学 堀井洋子 明治図書 1977

3. 折り紙の幾何学 伏見康治 · 伏見満枝 日本評論社 1979

4. 折り紙と数学� 堀井洋子 明治図書 1983

5. 創造性の文化と科学 伏見康治編 共立出版 1989

6. ORIGAMI SCIENCE & ART KoryoMiura(Ed.) 1994

7. 折り紙算数 · 折り紙数学 数教協 国土社 1994

8. 多面体の折紙 川村みゆき 日本評論社 1995

9. バラ_{と}折り紙_{と}数学_{と} 川崎敏和 森北出版 1998

10. オリガミクス� 芳賀和夫 日本評論社 1999

11. 折る紙の数学 渡部勝 講談社 2000

12. Origami^{3} T homas Hull(Ed.) 2001

13. 折紙の数学 Robert Geretschläger(深川英俊訳) 森北出版 2002

14. おもしろ数学（手づくり選択数学１） 小森弘三 明治図書 2002

15. すごいぞ折り紙 阿部恒 日本評論社 2003

16. ひと裁ち折り紙 山本厚生 萌文社 2004

17. 折り紙と数学のひろば 堀井洋子 日本評論社 2004

18. オリガミクス� 芳賀和夫 日本評論社 2005

19. 折り紙の数理と科学 T homas Hull 編 川崎敏和監訳 森北出版 2005

20. 折り紙で数学（手づくり選択数学５） 堀井洋子他 明治図書 2005 その他 ※立体について

1. まんぷく BOX 布施知子 筑摩書房 1995

2. 3-D Geometric Origami Rona Gurkewitz DOVER 1995

3. Mathematical Origami David Mitchell Burlington Press 1997

4. Modular Origami Polyhedra Lewis Simon 他 DOVER 1999

5. はじめての多面体おりがみ 川村みゆき 日本ヴォーグ社 2001

6. 折り紙で広がる化学の世界 桃谷好英 化学同人 2001

7. A Plethora of Polyhedra in Origami John Montroll DOVER 2002

8. ゆかいな多面体 布施知子 日本ヴォーグ社 2005

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「折り返し」と「切り取り」移動 (A 氏宛の手紙より)

1. 問題の発端次のような問題（算数オリンピック１９９３年決勝問４…だそうです）の解法について、同僚の若い先生から質問されたことから始まりました。問 三角形 ABC があり、 AB と CD の長さが等しく、 ∠CAB が 30^{∘}、

B  C A  D

∠ABC が 40^{∘} のとき、 ∠CDA をもとめなさい。

(1) 模範解答 (参照：算数オリンピック関連図書やホームページ）三角形の内角の和は 180^{∘} であるから、 ∠BCA = 180^{∘} − (30^{∘} +

B  ^{||} C A E _{||}  D

40^{∘}) = 110^{∘}, ∠DCA = 30^{∘} + 40^{∘} = 70^{∘} AB = CD なので、三角形 ABC と合同な三角形 DCE を図のように考える。（要するに三角形 ABC を切り取り、 AB を CD に重ねるように移動する）すると、 AC = DE, ∠ACE = 70^{∘} + 40^{∘} = 110^{∘} = ∠DEC となるから、四角形 ACED は等脚台形であることが分かる。よって、 AD // CE なので、 ∠CDA = ∠DCE （錯角） = ∠ABC = 40^{∘} である。

(2) 生徒の解 BD 上に BA = BE となる点 E をとる（∠ABD の２等分線を折

A B  C  D E^{||}^{40^{∘}}  ^{30^{∘}}  ∥ ∥

り、点 A が BD と重なる点を E とする）。すると、 △ABE は２等辺三角形であるから、 ∠BAE = ∠BEA = (180^{∘} − 40^{∘}) ÷ 2 = 70^{∘}、

AB = CD より BE = CD すなわち BC = ED ⋯ ◯^{1} となる。

また、 ∠ACE は、 △ACB の外角だから ∠ACE = 30^{∘} + 40^{∘} = 70^{∘}。従って、 △ACE は AC = AE ⋯ ◯^{2} の２等辺三角形であり、 ∠ACB = ∠AED ⋯ ◯^{3} = 110^{∘} である。よって、 ◯^{1}, ◯^{2}, ◯^{3} より △ACB と △AED は合同となり、 ∠CDA = ∠EDA = ∠CBA = 40^{∘} である。

(3) 私の解 △ABC を AC に関して対称移動し、合同な三角形 ACE を考え

A B  C  D E F^{||}  _{||}^{||}^{40^{∘}}  _{40^{∘}}^{30^{∘}} ^{30^{∘}}

る。（要するに △ABC を AC で折り返す）すると、 ∠ACE = ∠ACB = 180^{∘} − (30^{∘} + 40^{∘}) = 110^{∘}, ∠DCA = 30^{∘} + 40^{∘} = 70^{∘} より ∠FCE = 110^{∘} − 70^{∘} = 40^{∘} = ∠FEC であるから、 △FCE は F C = F E ⋯ ◯^{1} の２等辺三角形である。

また、 AE = AB = CD ⋯ ◯^{2} なので、 ◯^{1}, ◯^{2}より F A = F D と

なり、三角形 F AD は２等辺三角形である。よって、 ∠AFD = ∠EFC より ∠CDA = ∠FAD = (40^{∘} + 40^{∘}) ÷ 2 = 40^{∘} である。（中高校生であれば、円周角・中心角や円に内接する四角形で説明がつく）

上の３つの解法に見られる補助線の手法は、直線図形の問題を考える際（小学校だけなく中・高でも）基本（少なくとも重要なヒント）となるものではないかと思うのです。（（２）のＡＥのように見えない線も含めて）対称性を基本に小学生の場合は、正三角形、二等辺三角形等を作ること、中学生以上はこれに内心・外心そして相似形などを考慮に入れることが重要になるのだと思います。不思議なことにこれらの問題は高校の武器（正弦定理等々…）で解こうとするとかなり難しくなることが多い（面白味もなくなります）のです。以下は問題の提示だけで証明は省略します 2. 「切り取り」移動で図形問題を解く＝例：その１＝

対角線の長さが与えられた矩形の面積について、電話で伺ったお話より思い浮かんだことを書いてみました。

a  ⟹  正方形の面積は\frac{1}{2} a^{2}

a 正方形１個の面積は右図より正方形５個で a^{2} だから、\frac{1}{5} a^{2}、

正方形２個で\frac{2}{5} a^{2}

a 正方形１個の面積は右図より正方形 10 個で a^{2} だから、

\frac{1}{10} a^{2}、正方形３個で\frac{3}{10} a^{2}

a a また上のことから、左図の斜線部分の正方

形の面積は、それぞれ a^{2} − \frac{1}{5} a^{2} × 4 = \frac{1}{5} a^{2}、 a^{2} − \frac{1}{10} a^{2} × 6 = \frac{2}{5} a^{2} であること等が簡単に求まりますね。 3. 「切り取り」移動で図形問題を解く＝例：その２＝

(1) 正方形ＡＢＣＤにおいて、 ∠ABE = 15^{∘}, ∠CBF =

A B  C D E  F 15^{∘} 30^{∘}x^{∘}  A B  C D E  F R 15^{∘} 30^{∘}x^{∘} 15^{∘}

30^{∘} のとき、 ∠BEF は何度ですか。

(2) 正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上の任意の点をＰとし、

A B  C D P  Q A B  C D P  Q R

∠PAD の２等分線とＣＤの交点をＱとすれば、 DQ = AP − BP である。

(3) △ABC において、 AB = AC, ∠A =

A B  C  D 100^{∘}  A B  C  D E 100^{∘} 60^{∘} 40^{∘}

100^{∘} とし、辺 AC のＣをこえた延長上に点Ｄを AD = BC にとるとき、 ∠CBD を求めよ。 (4) 三角形 ABC があり、 AB と CD の長さが等しく、 ∠CAB = ∠ABC = 20^{∘} のとき、 ∠CDA をもとめなさい。

B  C  A  D  A B  C  D E^{||}  _{||}

(5) 三角形 ABC があり、 AB と CD の長さが等しく、 ∠CAB = 80^{∘}, ∠BCA = 20^{∘} のとき、 ∠DAC を求めなさい。

B A  D  C  A B  C D  E^{||}  ^{||}  ^{||}_{||}^{||}^{|}  _{|} 80^{∘}

4. 「折り返し」で図形問題を解く＝例：その１＝

(1) 折り線と対称性折り返し図形長方形を右図のように折ったとき、次のことが成り立つ。

|^{|}_{||}^{||}  ∘ ∘ A  B C D E

(1) ∠BAC = ∠DAC, ∠BCA = ∠DCA

(2) AC ⊥ BD, BE = DE

(3) AB = AD, CB = CD

(2) 右図は正方形を３つ合わせたものです。 ∠z=∠x+∠y

A  B C D  z  x  y  C D  z  x  yy xy

であることを示して下さい。 AB で折り返して考えるとよい

(3) 右図の平行四辺形 ABCD

A 15^{∘} D  30^{∘} B  C  D A  B  C 15^{∘}  30^{∘}^{||}^{||}

で、 ∠ABD=３０度、 ∠BAC= １５度です。では、 ∠ACB は何度でしょうか？辺 AB と DC が重なるように折り返して考えるとよい

(4) 右図の ∠ADB は何度でしょうか？

D A B  C 36^{∘}  48^{∘}^{12^{∘}}  ^{24^{∘}}  D A B  C 36^{∘}  48^{∘}^{12^{∘}}  ^{24^{∘}}_{||}^{||}^{||}  ^{||}^{|}  ^{|}

辺 AB に関して △ABD を折り返して考えるとよい (5) 三角形 ABC があり、 BD と DC の長さが等しく、 ∠ACD = 15^{∘}, ∠DAC = 30^{∘} のとき、 ∠CBA をもとめな

さい。 AD に関して、 △ADC を折り返して考える

B  A  D  C  A B  C D E_{|}  _{|}_{|}_{||}  _{||}  _{||}^{||} 15^{∘} 30^{∘}

(6) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △BDC をＢＣで折り返す。四角形 ABED は円に内接

D A B  C^{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{40^{∘}}^{70^{∘}} D A B  C^{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{40^{∘}}^{70^{∘}}  E

※他に巧妙な補助線の取り方として以下が考えられる。 ◎ＢＤ上に △ABC の外心Ｏがあることを利用する。◎ＡＢ上に △BEC が EB = EC の二等辺三角形となるような点Ｅをとる。（いずれの場合も点ＢとＣを重ねて折る）

D A B  C^{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{40^{∘}}^{70^{∘}} O^{|}  ^{|}^{|}  D A B  C^{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{40^{∘}}^{70^{∘}} E F G

(7) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △BDC をＢＤで折り返す。四角形 AECD は円に内接

D A B  C^{20^{∘}}^{20^{∘}}  ^{50^{∘}}^{80^{∘}}  D A B  C^{20^{∘}}^{20^{∘}}  ^{50^{∘}}^{80^{∘}} E

(8) 下図の ∠CAD は何度でしょうか？ △ABC をＡＣで折り返す。四角形 ABFD は円に内接

D A  B  C^{60^{∘}}^{80^{∘}}  ^{70^{∘}}  D A  B  C^{60^{∘}}^{80^{∘}}  ^{70^{∘}} E  F

(9) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △ABC をＡＣで折り返す。四角形 B′NCD は円に内接, 四角形 B′AOD は円に内接

A B  C  D^{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}}  A B  C  D^{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ O N M

5. 面積\frac{1}{2} の図形

別件になりますが、３月末に、空港の書店で偶然入手しました本に載っていた「パズル・はんぶんにおる」をヒントに高校生に下記のように授業しました。大変評判がよく、喜んで取り組んでいました。５月の連休頃に同じような実践を東京の私立高校の先生がすでにされたことを知りました。（下記の前半部分）それによると、このパズルは２０００年に幕張で行われた数学教育国際会議で見つけられたとありますが、このパズルはかなり以前から考えられていたものなのでしょうか。 (後日：Ａ氏によると７０年代以前とのこと)

（1）折り紙の面積を半分 ( \frac{1}{2} ) にしよう。

与えられた折り紙を折って面積を半分 ( \frac{1}{2} ) にして下さい。折り方はは自由ですが、２枚以上の重なりがなく、白い裏が見えてはいけません。

（2）折り紙の正方形の対角線の交点を O とします。一つの辺の中点と O を結ぶ線

O^{|}^{|}

に切れ目を入れます。切れ目を全部生かして面積が半分になるように折って下さい。条件は同じです。

(1) パターン (シルエット) は何種類できますか。

(2) できたパターンを分類しなさい。分類の基準は各自が考えること。

全部で１３種類ありました（東京の先生と同じ）

（3）

O^{||}^{||}^{|}^{|}  ^{O ^{||}  ^{||}^{|}^{|}}

同様にして、右図のような場合についても、パターン（シルエット）は何種類できるか考えてみましょう。

それぞれ、７種類、２３種類 ありました

4pattern^{\frac{1}{2} の面積} 7pattern 13pattern

23pattern ？

※上のパターンを２つ以上使って正方形や長方形を作ってみましょう。 (下図は５個使った例)

6. 折り紙で作る正三角形から、図形の難問の構造が見えました算数オリンピックの問題をはじめパズル本や中村義作先生の本に難問として取り上げられいるもののうち、角度問題の多数が実は以下の折り紙でつくる正三角形の構造の中に見いだすことができるということです。すると、補助線の見つけ方（この場合も「折り返し」と「切り取り」が役に立ちます）は大変簡単になります。（それが一番エレガントな解き方とは限りませんが）沢山ありますので、図示するだけにします。（先の４の（５）もそうです）これを明らかにするとパズルの面白味がなくなるのかもしれませんね。（後日：１１月にほぼ同一内容のものがインターネット上サイトに掲載されていることが分かりました。ただし、折り紙には触れていません）

（1）正三角形を折る

A  B C D P F E O  G

(1)△PBC, △OAD は合同な正三角形（辺の長さは正方形 ABCD の１辺に等しい） (2)∠ABE = ∠EBP = ∠AOB = ∠BOG = ∠APE = 15^{∘} (3)∠CBE = ∠PEB = ∠BEA = ∠BAP = 75^{∘} (4)AB = P B = OP = OA

（2）問題（イ）

C  D A B  P

正方形ＡＢＣＤの内部に ∠PBC = ∠PCB = 15^{∘} となるように点 P をとり、点 A と点 P 、点 D と点 P をそれぞれ図のように結びます。すると、 ∠APD は何度になりますか。

\begin{matrix}(ロ） \\ x & y & 150^{∘} & ^{||} & ^{||} & ^{||} \end{matrix}  \begin{aligned}& & (ハ) \\ 15^{∘} & 30^{∘} & x & A & B & C & D & ^{||} & ^{||} \end{aligned}

\begin{matrix}(二) \\ A & B & C & D & ^{|} & ^{|} & ^{|} & ^{||} & ^{||} & x \end{matrix}  \begin{matrix}（ホ） \\ A & B & C & D & ^{|} & ^{|} & ^{|} & ^{||} & ^{||} & x \end{matrix}  \begin{matrix}（へ） \\ A & B & C & D & ∠ACB =? & ^{|} & ^{|} & ^{|} & 30^{∘} \end{matrix}

\begin{matrix}（ト） \\ A & B & C & D & E & ^{||} & ^{||} & 15^{∘} & x \end{matrix} \begin{aligned}& (チ） AD // BC のとき、 CD = CE を \\ & 示せ \\ ^{||} & _{||} & A & B & C & D & E \end{aligned} \begin{matrix}(リ） \\ 45^{∘} & 30^{∘} & x^{∘} \end{matrix}

「角度の問題」について

整角四角形問題、ラングレーの問題とも「フランクリンの凧」とも呼ばれている。 1922 年に Edward Langley （イギリス）が雑誌に出題したことで有名になった。日本では 数学セミナー（1967 年６月号解答９月号：\underline{後掲資料参照}）に出題された。

1. 数学セミナー 1984 年 8 月号「整角４角形問題」詳しい解説 数学セミナー 1984 年 8 月号 日本のコンピュータパイオニアとも言われる\underline{池野信一氏}による詳しい説明がある。すべての角が 10^{∘} の整数倍となる場合について、マイコン使って調べ、総数 724 個、円に内接する場合と対称形の場合を除いて 300 個の問題\underline{（後掲資料参照）}を得ている。さらに、ある種の変換により、一つの問題から、別の問題が得られこの変換の道をたどってゆくと 300 個の問題が一つにつながってしまうことを示された。

A  B C D  ^{θ_{4}}^{θ_{3}}^{θ_{5}}^{θ_{6}}^{θ_{8}}^{θ_{1}}^{θ_{2}}  ^{θ_{7}}

θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{8} = 180^{∘}
θ_{2} + θ_{3} + θ_{4} + θ_{5} = 180^{∘}
θ_{6} + θ_{7} = θ_{2} + θ_{3}
sin θ_{1} sin θ_{3} sin θ_{5} sin θ_{7} = sin θ_{2} sin θ_{4} sin θ_{6} sin θ_{8}

これら４つの式を満足する整角の組合せをマイコンを使用して求めた。

さらに整角四角形では、\frac{180^{∘}}{n} を単位としてすべての角の大きさを整数値で表すことができ、 n = 8〜n = 36 までの偶数のものについて調べ、 n が３の倍数でなければ問題は簡単なものしかないことを示された。

2. 岐阜聖徳学園大学紀要 2004 年 46 号 Langley の問題とその一般化問題の解法＝コンピューター利用の一方法＝ \underline{兼山瓊典氏} コンピューターを利用して、色々な補助線を引いて、解法が分かっている場合に帰着させる方法で 352 題（池野氏が除いた対称形の場合 52 題が加えられている）を解いている。帰着させる方法を何回か行い最後に直接解けた問題になるようにプログラミングしている。「例：整角四角形 10^{∘}, 20^{∘}, 50^{∘}, 80^{∘} の場合=帰着させる問題が１題 (ECAB = 50^{∘}50^{∘}20^{∘}80^{∘}) だけの場合」

A B  C  D^{10^{∘}}^{20^{∘}}  ^{50^{∘}} ^{80^{∘}}^{60^{∘}}_{40^{∘}}  ^{60^{∘}}  ^{30^{∘}} G H E F

点 E を DC の延長上で ∠BAE = 80^{∘}、点 F を DC の延長上で ∠BAF = 60^{∘} とする。このとき、 BD ⊥ AE, BC ⊥ AF である。 G を BC と AF の交点、 H を BD と AE の交点とする。 △AGC と △FCG は直角三角形であり角度の関係から、合同になる。よって、 AG = F G となる。従って、 △ABG ≡ △FBG、ゆえに ∠FBG = 30^{∘} また、 ∠ABF + ∠AEF = 180^{∘} より ABFE は同一円周上にある。よって、 ∠FBE = ∠FAE = 20^{∘} ゆえに、 ∠EBC = 10^{∘}、従って ∠EBH = 30^{∘} となる。 ∠EDH = 30^{∘} であるから、 △EBH ≡ △EDH ゆえに BH = HD よって、 △ABH ≡ △ADH となるから ∠ADB = 10^{∘} となる。 3. 「幾何学」モノグラフ（1988 年改訂版）

\underline{清宮俊雄氏}著「幾何学」モノグラフ（1988 年改訂版） 第７章 増補 § 40 整角四角形でラングレー問題を中心に解説されている。

4. 第 85 回日数教大会レポートこんなところにも数学ー「角度の問題」の汎用統一解法を紹介ー \underline{神谷正氏} (愛知県）図形問題「Langley の問題」を解くために開発した一つの方法、それを同じ方法で解ける問題を探したら、たくさん集まった。とうことで、１００ページ余りの膨大なレポートである。問題・解法だけでなく「角度の問題」に関する文献、 WEB ページなども紹介されている。解法の鍵は以下の２つの補題であり、さらに和積公式等の三角関数の諸公式を使う。

補題１

A B  C D P β α′  β′ γ δ α δ′  γ′

平面上の四角形 ABCD と点 P(≠ A, B, C, D) に対し、 ∠PAB = α, ∠PBC = β, ∠PCD = γ, ∠PDA = δ, ∠PBA = α′, ∠PCB = β′, ∠PDC = γ′, ∠PAD = δ′, とすると、次の等式が成り立つ。

sin αsinβ sin γ sin δ = sin α′ sin β′ sin γ′ sin δ′

補題１の系

A B  C D^{b}^{a}  ^{c} ^{d}^{x}

平面上の凸四角形 ABCD に対し、 ∠ABD = a, ∠CBD = b, ∠ACB = c, ∠ACD = d, ∠ADB = x とすると、次の等式が成り立つ。

sin x sin(a+b+c) sin b sin d+sin(b+c+d) sin(x−b−c) sin a sin c = 0

補題 2 ＜＜三角関数の３倍角の公式、５倍角の公式＞＞

sin 3θ = sin θ(2 cos 2θ + 1) cos 3θ = cos θ(2 cos 2θ − 1) sin 5θ = sin θ{2(cos 4θ + cos 2θ) + 1} cos 5θ = cos θ{2(cos 4θ − cos 2θ) + 1}

「例：整角四角形 = 10^{∘}, 30^{∘}, 30^{∘}, 20^{∘} の場合」

A B  C D^{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{30^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}}

補題１の系：sin x^{∘} sin 70^{∘} sin 30^{∘} sin 20^{∘}+sin 80^{∘} sin(x−60^{∘}) sin 10^{∘} sin 30^{∘} = 0 公式： sin x^{∘} cos 20^{∘} sin 30^{∘} sin 20^{∘} + cos 10^{∘} sin(x − 60^{∘}) sin 10^{∘} sin 30^{∘} = 0 ÷ sin 30^{∘} ： sin x^{∘} cos 20^{∘} sin 20^{∘} + cos 10^{∘} sin(x − 60^{∘}) sin 10^{∘} = 0 ×2, ２倍角の公式； 2 sin x^{∘} cos 20^{∘} sin 20^{∘} + sin(x − 60^{∘}) sin 20^{∘} = 0 ÷ sin 20^{∘} ： 2 sin x^{∘} cos 20^{∘} + sin(x − 60^{∘}) = 0 公式： sin(x + 20^{∘}) + sin(x − 20^{∘}) + sin(x − 60^{∘}) = 0 {sin(x + 20^{∘}) + sin(x − 60^{∘})} + sin(x − 20^{∘}) = 0 公式： 2 sin(2x − 40^{∘})/2 cos(80^{∘}/2) + sin(x − 20^{∘}) = 0 因数分解 (2 cos 40^{∘} + 1) sin(x − 20^{∘}) = 0 ÷(2 cos 40^{∘} + 1) sin(x − 20^{∘}) = 0 0^{∘} < x < 180^{∘} より x = 20^{∘}

5. 数学セミナー 2001 年 8 月号 「NOTE 」「ある角度の求め方」 \underline{佐藤光二氏} 四角形 ABYX において

X A  B Y β α  δ γ

∠XAY = α, ∠YAB = β, ∠YBX = γ, ∠XBA = δ とし、 β ≧ δ であるとする。このとき、 ∠YXB の値は等式 tan θ

= \frac{cos(γ + 2δ) sin α − cos(α + 2β) sin γ − sin(α − γ)}{sin(γ + 2δ) sin α + sin(α + 2β) sin γ}

をみたす θ に δ を加えたものである。「例：整角四角形 = 10^{∘}, 30^{∘}, 30^{∘}, 20^{∘} の場合」 α = 20^{∘}, β = 30^{∘}, δ = 30^{∘}, γ = 10^{∘} とおくと、

分子 = cos(10^{∘} + 2 × 30^{∘}) sin 20^{∘} − cos(20 + 2 × 30^{∘}) sin 10^{∘} − sin 10^{∘}
= cos 70^{∘} sin 20^{∘} − sin 80^{∘} sin 10^{∘} − sin 10^{∘}
= sin^{2} 20^{∘} − sin^{2} 10^{∘} − sin 10^{∘}
= \frac{1 − cos 40^{∘}}{2} − \frac{1 − cos 20^{∘}}{2} − sin 10^{∘}
= − \frac{1}{2} (cos 40^{∘} − cos 20^{∘}) − sin 10^{∘}
= − \frac{1}{2} (−2 sin 30^{∘} sin 10^{∘}) − sin 10^{∘}
= sin 30^{∘} sin 10^{∘} − sin 10^{∘}
= − \frac{1}{2} sin 10^{∘}
分母 = sin(10^{∘} + 2 × 30^{∘}) sin 20^{∘} − sin(20 + 2 × 30^{∘}) sin 10^{∘}
= sin 70^{∘} sin 20^{∘} + sin 80^{∘} sin 10^{∘}
= cos 20^{∘} sin 20^{∘} + cos 10^{∘} sin 10^{∘}
= \frac{1}{2} sin 40^{∘} + \frac{1}{2} sin 20^{∘}
= \frac{1}{2} (sin 40^{∘} + sin 20^{∘})
= \frac{1}{2} · 2 sin 30^{∘} cos 10^{∘}
= \frac{1}{2} cos 10^{∘}

より、 tan θ = \frac{− sin 10^{∘}}{cos 10^{∘}} = tan(−10^{∘}) 従って θ = −10^{∘}, すなわち、 x = −10^{∘} + 30^{∘} = 20^{∘}

折り紙の発想で補助線感覚を養おう!

1. 折り返しで補助線

折り返し (1) _{^{|}^{|}_{||}^{||}  ∘ ∘ A  B C B′  E}

折り返し (2) △OAB を OB で折り返す

• •  ^{|}^{|}^{||}^{||}  ∘ ∘A B  A_{′} O

\begin{aligned}& 折り返し (3) ∠AOB の２等分線で折り返す \\ • & • & ^{|} & ^{|} & ^{||} & _{||} & ∘ & ∘ & A & B & B′ & O \end{aligned}  \begin{matrix}折り返し (4) OB の垂直２等分線で折り返す \\ • & • & _{|} & _{|} & ^{||} & ^{||} & A & B & O \end{matrix}

2. 折り紙的発想による補助線パターンの内訳 (私の場合) 整角四角形（10 度単位・ 300 題） 補助線のパターン（(1)， (2) の分類を優先して数えた）（1）辺を対称軸として折り返す およそ５０題（2）対角線を対称軸として折り返す およそ１２５題（3）辺の２等分線を折る（外心を含む） およそ５０題（4）角の２等分線を折る 数題（ただし、全て他のパターンで解ける）（5）補助線不要 ４８題 (４頂点のうち１つが他の３頂点でできる３角形の外心である場合) （6）不可能 ２６題（ただし、上記１〜３の折り返しで既知の問題に変換できる） ※この折り方が最適とは限らない。（もちろん万能でもない） ※４頂点のうち１つが他の３頂点でできる３角形の傍心である場合 36 題については、補助線を求めて解くことにした。 ※池野氏は正三角形と２つの２等辺三角形で作られるものが 24 個あること。ラングレーの問題もその１つであることを示された。 ※正多角形の中にうまく対角線を引いていくと整角四角形が現れることが知られていますが、どんな整角四角形も正多角形の中に作れるかは不明だそうです。

⋆ ⋆ ⋆⋆ 初等幾何は推理小説 ⋆ ⋆ ⋆⋆
⋆ ⋆ ⋆⋆ 与えられた補助線は面白くない ⋆ ⋆ ⋆⋆

⋆ ⋆ ⋆⋆ 「角度の問題」は左右対称なメモリのついた定規と分度器の使用を推奨 ⋆ ⋆ ⋆⋆ 3. 三角形の角の二等分線と比

B  F  A C_{(a)} A B  C F D  E ∘ ∘ ∘ ∘_{(b)} B  E A C  F  D_{(c)}

三角形 ABC の頂角 ∠C またはその外角の二等分線 AF(折り紙的証明) 2 等分線 CF を折り、次に頂点 C が点 F に重なるように折ります。 [図 (a)] （外角についても同様）すると、図 (b),(c) において、四角形 CDFE は菱形になり、 F E // BC, F D // AC であることが分かります。また、このことから △AFE∽△FBD∽△ABC であり、 F E = F D に注意すると AF : F B = F E : BD = F D : BD = AC : BC ただし、図 (c) では AC ≠ BC

整角四角形問題

(1) AB = AC, BD = BC, AD // BC のとき、 CD = CE を示せ。 (モノグラフ 幾何学 清宮俊雄著より)

(ア) △ABD を AB で折り返す。 △BD′C は正三角形。 B は △CDD′ の外心

|| _{||} A B  C D E  ^{||} _{||} A B  C D E D′^{||}

(イ) △BDC を BC で折り返す。 △DBD′ は正三角形

|| _{||} A B  C D E  D′^{||} _{||}_{||} ^{|}_{|}  _{|}  ^{|}_{|} A B  C D E

(ウ) 補助線を右図のように引く。

|| _{||} A B  C D E  ^{||} _{||} A B  C D E F

(2) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △BDC をＢＤで折り返す。 △BCC′ は正三角形。 C′ は △ABC の外心

A B  C D 30^{∘} 40^{∘}  80^{∘} 20^{∘} x^{∘}  A B  C D 30^{∘} 40^{∘}  80^{∘} 20^{∘} x^{∘} C′  ^{|}^{|}_{||}^{||}  ^{||}^{||}  ^{|||}^{|||}

(3) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △ABD をＢＤで折り返す。 A′ は △EBC の内心。 △DBA′≡ △CBA′

A B  C D^{20^{∘}} ^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{40^{∘}}^{x^{∘}}  A B  C D^{20^{∘}} ^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{40^{∘}}^{x^{∘}} A′ E

(4) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ △ABC を AC で折り返す。四角形 BNDC は円に内接. N は △AB′D の外心

AB  C  D^{60^{∘}}^{40^{∘}}  ^{30^{∘}} ^{70^{∘}}^{x^{∘}}  AB  C  D^{60^{∘}}^{40^{∘}}  ^{30^{∘}} ^{70^{∘}}^{x^{∘}} B′ N  M

(5) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？ BC の垂直２等分線で折り返す。 E は △BCD の外心。四角形 EFCD は円に内接。 △CDE は正三角形。 △ACE≡△ACD

A B  C D^{30^{∘}} ^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{x^{∘}}  A B  C D^{30^{∘}} ^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{x^{∘}} E F ∘  ∘ ∘  ∘

(6) 下図の ∠ADB は何度でしょうか？既知の問題に変換。 △BCD を BD で折り返す。四角形 EBCA ＝ 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘} は既知の整角四角形。四角形 AECD は円に内接

A B  C  D^{20^{∘}}^{10^{∘}}  ^{100^{∘}}  ^{20^{∘}}^{x^{∘}}  A B  C  D^{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{30^{∘}}  ^{x^{∘}} E

(7) 下図で、 ∠ACD = 2∠ABD、 BC は △ACD の外角の２等分線であるとき、 B は △ACD の傍心。これで 36 題 (300 題中) が解けます。

A B  C  D α  2α

整角四角形問題（10 度単位 300 題)^{ \begin{aligned}& θ_{1} & θ_{2} & θ_{3} & θ_{4} & 解答 & & θ_{1} & θ_{2} & θ_{3} & θ_{4} & 解答 & & θ_{1} & θ_{2} & θ_{3} & θ_{4} & 解答 \\ 1 & 10 & 10 & 20 & 80 & 10 & 101 & 20 & 10 & 130 & 30 & 100 & 201 & 30 & 50 & 60 & 60 & 10 \\ 2 & 10 & 10 & 30 & 40 & 20 & 102 & 20 & 20 & 20 & 80 & 10 & 202 & 30 & 50 & 70 & 40 & 40 \\ 3 & 10 & 10 & 30 & 110 & 10 & 103 & 20 & 20 & 30 & 50 & 20 & 203 & 30 & 50 & 80 & 40 & 30 \\ 4 & 10 & 10 & 40 & 30 & 30 & 104 & 20 & 20 & 30 & 100 & 10 & 204 & 30 & 70 & 20 & 50 & 10 \\ 5 & 10 & 10 & 40 & 70 & 20 & 105 & 20 & 20 & 40 & 40 & 30 & 205 & 30 & 70 & 30 & 40 & 20 \\ 6 & 10 & 10 & 40 & 110 & 10 & 106 & 20 & 20 & 40 & 70 & 20 & 206 & 30 & 70 & 50 & 50 & 10 \\ 7 & 10 & 10 & 50 & 50 & 30 & 107 & 20 & 20 & 40 & 100 & 10 & 207 & 30 & 70 & 60 & 40 & 20 \\ 8 & 10 & 10 & 50 & 80 & 20 & 108 & 20 & 20 & 60 & 60 & 30 & 208 & 30 & 80 & 30 & 50 & 10 \\ 9 & 10 & 10 & 60 & 40 & 40 & 109 & 20 & 20 & 80 & 50 & 40 & 209 & 30 & 80 & 40 & 40 & 20 \\ 10 & 10 & 10 & 60 & 60 & 30 & 110 & 20 & 20 & 100 & 30 & 80 & 210 & 30 & 100 & 20 & 40 & 10 \\ 11 & 10 & 10 & 60 & 80 & 20 & 111 & 20 & 20 & 100 & 40 & 50 & 211 & 30 & 100 & 30 & 40 & 10 \\ 12 & 10 & 10 & 100 & 30 & 70 & 112 & 20 & 20 & 100 & 50 & 20 & 212 & 40 & 10 & 30 & 110 & 20 \\ 13 & 10 & 10 & 100 & 40 & 50 & 113 & 20 & 20 & 110 & 30 & 80 & 213 & 40 & 10 & 50 & 80 & 40 \\ 14 & 10 & 10 & 100 & 50 & 30 & 114 & 20 & 20 & 110 & 40 & 30 & 214 & 40 & 10 & 50 & 100 & 30 \\ 15 & 10 & 10 & 110 & 30 & 70 & 115 & 20 & 20 & 120 & 30 & 60 & 215 & 40 & 10 & 50 & 110 & 20 \\ 16 & 10 & 10 & 110 & 40 & 40 & 116 & 20 & 30 & 20 & 60 & 10 & 216 & 40 & 10 & 80 & 60 & 70 \\ 17 & 10 & 10 & 120 & 20 & 100 & 117 & 20 & 30 & 30 & 40 & 20 & 217 & 40 & 10 & 80 & 70 & 60 \\ 18 & 10 & 10 & 120 & 30 & 60 & 118 & 20 & 30 & 30 & 80 & 10 & 218 & 40 & 10 & 100 & 60 & 70 \\ 19 & 10 & 10 & 120 & 40 & 20 & 119 & 20 & 30 & 50 & 30 & 40 & 219 & 40 & 20 & 20 & 110 & 10 \\ 20 & 10 & 10 & 130 & 20 & 100 & 120 & 20 & 30 & 50 & 60 & 20 & 220 & 40 & 20 & 40 & 70 & 30 \\ 21 & 10 & 10 & 130 & 30 & 30 & 121 & 20 & 30 & 50 & 80 & 10 & 221 & 40 & 20 & 40 & 110 & 10 \\ 22 & 10 & 10 & 140 & 20 & 70 & 122 & 20 & 30 & 70 & 40 & 40 & 222 & 40 & 20 & 50 & 80 & 30 \\ 23 & 10 & 20 & 20 & 40 & 10 & 123 & 20 & 30 & 80 & 30 & 60 & 223 & 40 & 20 & 60 & 70 & 40 \\ 24 & 10 & 20 & 30 & 70 & 10 & 124 & 20 & 30 & 80 & 40 & 40 & 224 & 40 & 20 & 60 & 80 & 30 \\ 25 & 10 & 20 & 40 & 20 & 30 & 125 & 20 & 30 & 80 & 60 & 10 & 225 & 40 & 20 & 80 & 50 & 70 \\ 26 & 10 & 20 & 40 & 40 & 20 & 126 & 20 & 30 & 100 & 30 & 60 & 226 & 40 & 20 & 80 & 70 & 30 \\ 27 & 10 & 20 & 40 & 80 & 10 & 127 & 20 & 30 & 100 & 40 & 20 & 227 & 40 & 20 & 100 & 50 & 70 \\ 28 & 10 & 20 & 50 & 30 & 30 & 128 & 20 & 30 & 110 & 30 & 40 & 228 & 40 & 30 & 30 & 70 & 20 \\ 29 & 10 & 20 & 50 & 50 & 20 & 129 & 20 & 40 & 20 & 50 & 10 & 229 & 40 & 30 & 30 & 100 & 10 \\ 30 & 10 & 20 & 50 & 80 & 10 & 130 & 20 & 40 & 40 & 30 & 30 & 230 & 40 & 30 & 40 & 60 & 30 \\ 31 & 10 & 20 & 70 & 30 & 40 & 131 & 20 & 40 & 40 & 70 & 10 & 231 & 40 & 30 & 40 & 80 & 20 \\ 32 & 10 & 20 & 70 & 40 & 30 & 132 & 20 & 40 & 60 & 40 & 30 & 232 & 40 & 30 & 50 & 80 & 20 \\ 33 & 10 & 20 & 80 & 20 & 60 & 133 & 20 & 40 & 60 & 50 & 20 & 233 & 40 & 30 & 70 & 60 & 40 \\ 34 & 10 & 20 & 80 & 40 & 30 & 134 & 20 & 40 & 70 & 40 & 30 & 234 & 40 & 30 & 70 & 70 & 20 \\ 35 & 10 & 20 & 80 & 50 & 20 & 135 & 20 & 40 & 80 & 30 & 50 & 235 & 40 & 30 & 80 & 50 & 60 \\ 36 & 10 & 20 & 100 & 20 & 70 & 136 & 20 & 40 & 80 & 50 & 10 & 236 & 40 & 30 & 80 & 60 & 30 \\ 37 & 10 & 20 & 100 & 30 & 40 & 137 & 20 & 40 & 100 & 30 & 30 & 237 & 40 & 40 & 20 & 80 & 10 \\ 38 & 10 & 20 & 100 & 40 & 20 & 138 & 20 & 50 & 40 & 60 & 10 & 238 & 40 & 40 & 40 & 70 & 20 \\ 39 & 10 & 20 & 110 & 20 & 70 & 139 & 20 & 50 & 70 & 30 & 40 & 239 & 40 & 40 & 60 & 60 & 30 \\ 40 & 10 & 20 & 110 & 30 & 30 & 140 & 20 & 50 & 70 & 40 & 20 & 240 & 40 & 40 & 80 & 50 & 40 \\ 41 & 10 & 20 & 110 & 40 & 10 & 141 & 20 & 60 & 20 & 40 & 10 & 241 & 40 & 60 & 30 & 70 & 10 \\ 42 & 10 & 20 & 120 & 20 & 60 & 142 & 20 & 60 & 30 & 50 & 10 & 242 & 40 & 60 & 50 & 50 & 30 \\ 43 & 10 & 20 & 130 & 20 & 30 & 143 & 20 & 60 & 50 & 30 & 30 & 243 & 40 & 70 & 20 & 60 & 10 \\ 44 & 10 & 30 & 20 & 30 & 10 & 144 & 20 & 60 & 50 & 50 & 10 & 244 & 40 & 70 & 30 & 50 & 20 \\ 45 & 10 & 30 & 30 & 20 & 20 & 145 & 20 & 60 & 70 & 30 & 30 & 245 & 40 & 70 & 40 & 60 & 10 \\ 46 & 10 & 30 & 30 & 50 & 10 & 146 & 20 & 60 & 70 & 40 & 10 & 246 & 40 & 70 & 50 & 50 & 20 \\ 47 & 10 & 30 & 40 & 30 & 20 & 147 & 20 & 60 & 80 & 30 & 20 & 247 & 50 & 10 & 40 & 100 & 30 \\ 48 & 10 & 30 & 40 & 60 & 10 & 148 & 20 & 80 & 30 & 40 & 10 & 248 & 50 & 10 & 60 & 80 & 50 \\ 49 & 10 & 30 & 60 & 20 & 40 & 149 & 20 & 80 & 40 & 30 & 20 & 249 & 50 & 10 & 60 & 100 & 30 \\ 50 & 10 & 30 & 60 & 40 & 20 & 150 & 20 & 80 & 40 & 40 & 10 & 250 & 50 & 20 & 40 & 80 & 30 \\ 51 & 10 & 30 & 70 & 30 & 30 & 151 & 20 & 80 & 50 & 30 & 20 & 251 & 50 & 20 & 40 & 100 & 20 \\ 52 & 10 & 30 & 70 & 40 & 20 & 152 & 20 & 100 & 20 & 30 & 10 & 252 & 50 & 20 & 70 & 80 & 30 \\ 53 & 10 & 30 & 80 & 20 & 50 & 153 & 20 & 100 & 40 & 30 & 10 & 253 & 50 & 30 & 20 & 100 & 10 \\ 54 & 10 & 30 & 80 & 30 & 30 & 154 & 30 & 10 & 20 & 130 & 10 & 254 & 50 & 30 & 30 & 80 & 20 \\ 55 & 10 & 30 & 80 & 50 & 10 & 155 & 30 & 10 & 30 & l00 & 20 & 255 & 50 & 30 & 40 & 70 & 30 \\ 56 & 10 & 30 & 10 & 20 & 50 & 156 & 30 & 10 & 30 & 130 & 10 & 256 & 50 & 30 & 40 & 100 & 10 \\ 57 & 10 & 30 & 100 & 30 & 20 & 157 & 30 & 10 & 40 & 80 & 30 & 257 & 50 & 30 & 60 & 80 & 20 \\ 58 & 10 & 30 & 110 & 20 & 40 & 158 & 30 & 10 & 40 & 110 & 20 & 258 & 50 & 30 & 70 & 70 & 30 \\ 59 & 10 & 30 & 110 & 30 & 10 & 159 & 30 & 10 & 60 & 60 & 50 & 259 & 50 & 30 & 80 & 60 & 50 \\ 60 & 10 & 30 & 120 & 20 & 20 & 160 & 30 & 10 & 60 & 80 & 40 & 260 & 50 & 50 & 20 & 80 & 10 \\ 61 & 10 & 40 & 30 & 40 & 10 & 161 & 30 & 10 & 60 & 100 & 20 & 261 & 50 & 50 & 60 & 60 & 30 \\ 62 & 10 & 40 & 50 & 20 & 30 & 162 & 30 & 10 & 70 & 70 & 50 & 262 & 60 & 10 & 30 & 120 & 20 \\ 63 & 10 & 40 & 50 & 30 & 20 & 163 & 30 & 10 & 70 & 80 & 40 & 263 & 60 & 10 & 40 & 120 & 20 \\ 64 & 10 & 40 & 80 & 20 & 40 & 164 & 30 & 10 & 80 & 50 & 70 & 264 & 60 & 10 & 70 & 80 & 60 \\ 65 & 10 & 40 & 80 & 30 & 20 & 165 & 30 & 10 & 80 & 70 & 50 & 265 & 60 & 20 & 20 & 120 & 10 \\ 66 & 10 & 40 & 80 & 40 & 10 & 166 & 30 & 10 & 100 & 50 & 80 & 266 & 60 & 20 & 30 & 100 & 20 \\ 67 & 10 & 40 & 100 & 20 & 30 & 167 & 30 & 10 & 100 & 60 & 50 & 267 & 60 & 20 & 30 & 20 & 10 \\ 68 & 10 & 50 & 60 & 20 & 30 & 168 & 30 & 10 & 110 & 40 & 100 & 268 & 60 & 20 & 50 & 80 & 40 \\ 69 & 10 & 50 & 60 & 40 & 10 & 169 & 30 & 10 & 110 & 50 & 70 & 269 & 60 & 20 & 50 & 100 & 20 \\ 70 & 10 & 50 & 80 & 20 & 30 & 170 & 30 & 10 & 120 & 40 & 100 & 270 & 60 & 20 & 70 & 80 & 40 \\ 71 & 10 & 60 & 40 & 20 & 20 & 171 & 30 & 20 & 20 & 100 & 10 & 271 & 60 & 20 & 80 & 70 & 60 \\ 72 & 10 & 60 & 70 & 30 & 10 & 172 & 30 & 20 & 30 & 70 & 20 & 272 & 60 & 40 & 30 & 80 & 20 \\ 73 & 10 & 60 & 80 & 20 & 20 & 173 & 30 & 20 & 30 & 110 & 10 & 273 & 60 & 40 & 50 & 80 & 20 \\ 74 & 10 & 70 & 40 & 30 & 10 & 174 & 30 & 20 & 50 & 50 & 40 & 274 & 60 & 60 & 20 & 80 & 10 \\ 75 & 10 & 70 & 50 & 20 & 20 & 175 & 30 & 20 & 50 & 70 & 30 & 275 & 60 & 60 & 40 & 70 & 20 \\ 76 & 10 & 70 & 50 & 30 & 10 & 176 & 30 & 20 & 50 & 100 & 10 & 276 & 70 & 10 & 20 & 140 & 10 \\ 77 & 10 & 70 & 60 & 20 & 20 & 177 & 30 & 20 & 60 & 60 & 40 & 277 & 70 & 10 & 40 & 110 & 30 \\ 78 & 10 & 70 & 80 & 20 & 10 & 178 & 30 & 20 & 80 & 40 & 70 & 278 & 70 & 10 & 50 & 100 & 40 \\ 79 & 10 & 100 & 30 & 20 & 10 & 179 & 30 & 20 & 80 & 60 & 40 & 279 & 70 & 10 & 50 & 110 & 30 \\ 80 & 10 & 100 & 40 & 20 & 10 & 180 & 30 & 20 & 80 & 70 & 20 & 280 & 70 & 10 & 60 & 100 & 40 \\ 81 & 20 & 10 & 20 & 120 & 10 & 181 & 30 & 20 & 100 & 40 & 80 & 281 & 70 & 30 & 20 & 110 & 10 \\ 82 & 20 & 10 & 30 & 80 & 20 & 182 & 30 & 20 & 100 & 50 & 40 & 282 & 70 & 30 & 30 & 110 & 10 \\ 83 & 20 & 10 & 40 & 60 & 30 & 183 & 30 & 20 & 110 & 40 & 70 & 283 & 70 & 30 & 50 & 80 & 40 \\ 84 & 20 & 10 & 40 & 100 & 20 & 184 & 30 & 30 & 20 & 80 & 10 & 284 & 70 & 30 & 60 & 80 & 40 \\ 85 & 20 & 10 & 40 & 120 & 10 & 185 & 30 & 30 & 40 & 70 & 20 & 285 & 70 & 40 & 20 & 100 & 10 \\ 86 & 20 & 10 & 50 & 50 & 40 & 186 & 30 & 30 & 80 & 50 & 40 & 286 & 70 & 40 & 30 & 100 & 10 \\ 87 & 20 & 10 & 50 & 80 & 30 & 187 & 30 & 30 & 100 & 40 & 50 & 287 & 70 & 40 & 40 & 80 & 30 \\ 88 & 20 & 10 & 50 & 100 & 20 & 188 & 30 & 40 & 30 & 50 & 20 & 288 & 70 & 40 & 50 & 80 & 30 \\ 89 & 20 & 10 & 70 & 40 & 60 & 189 & 30 & 40 & 30 & 80 & 10 & 289 & 80 & 20 & 30 & 110 & 20 \\ 90 & 20 & 10 & 70 & 70 & 80 & 190 & 30 & 40 & 40 & 60 & 20 & 290 & 80 & 20 & 40 & 100 & 30 \\ 91 & 20 & 10 & 70 & 80 & 30 & 191 & 30 & 40 & 40 & 80 & 10 & 291 & 80 & 20 & 40 & 110 & 20 \\ 92 & 20 & 10 & 80 & 50 & 60 & 192 & 30 & 40 & 60 & 60 & 20 & 292 & 80 & 20 & 50 & 100 & 30 \\ 93 & 20 & 10 & 80 & 60 & 50 & 193 & 30 & 40 & 70 & 40 & 50 & 293 & 80 & 30 & 30 & 100 & 20 \\ 94 & 20 & 10 & 100 & 40 & 80 & 194 & 30 & 40 & 70 & 50 & 30 & 294 & 80 & 30 & 40 & 100 & 20 \\ 95 & 20 & 10 & 100 & 50 & 60 & 195 & 30 & 40 & 80 & 40 & 50 & 295 & 100 & 10 & 30 & 130 & 20 \\ 96 & 20 & 10 & 100 & 60 & 30 & 196 & 30 & 40 & 80 & 50 & 20 & 296 & 100 & 10 & 40 & 120 & 30 \\ 97 & 20 & 10 & 110 & 30 & 100 & 197 & 30 & 50 & 20 & 60 & 10 & 297 & 100 & 20 & 20 & 130 & 10 \\ 98 & 20 & 10 & 110 & 40 & 80 & 198 & 30 & 50 & 30 & 70 & 10 & 298 & 100 & 20 & 40 & 110 & 30 \\ 99 & 20 & 10 & 110 & 50 & 40 & 199 & 30 & 50 & 40 & 70 & 10 & 299 & 100 & 30 & 20 & 120 & 10 \\ 100 & 20 & 10 & 120 & 40 & 60 & 200 & 30 & 50 & 60 & 40 & 40 & 300 & 100 & 30 & 30 & 110 & 20 \end{aligned}}

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数学セミナー 2005 年１月号より

[figure]

問題 一辺 a の正方形用紙で三辺が a, b, c(> 0) となる三角形を折って作図して下さい。ただし、三辺は次の条件を満たします。 a ≧ b ≧ c, a < b + c

もちろん証明も添えて下さい。

[figure]

◎作図

◯^{1}  ◯^{2}  ◯^{3}

A B  C D E  F G  H b  a  c  B  C E  F G  H^{|}  ^{|} I ∘  ∘  A B  C D E  F G  H IJ

◯^{4}  ◯^{5}  ◯^{6}

A B  C D G  H IJG′^{||}  ^{||}  A B  C D E  F IJ F′  ^{||}^{||}  B  C IK

◯^{1}一辺の長さ a の正方形用紙で、与えられた条件 a ≧ b ≧ c, a < b + c を満たすように、 BE = CF = b, CH = BG = c として天 · 地に平行な線分 EF, GH を折って作る。 ◯^{2} 2 点 E, H を合わせて折る。（線分 EH の垂直２等分線を折った事になる）この折り筋と辺 BC との交点を I とする。 ◯^{3} 点 I を通り辺 AB に平行な線分 IJ を折る。 ◯^{4} 点 B を軸にして点 G が線分 IJ 上にいくように折る。この IJ 上の点を G′ とする。 ◯^{5} 点 C を軸にして点 F が線分 IJ 上にいくように折る。この IJ 上の点を F′ とする。 ◯^{6} このとき、点 G′、 F′ は一致するので、改めて K とすると、 △KBC が求める三角形である。（従って、頂点の位置決めにおいては◯^{4}, ◯^{5}の何れか片方は不要である）

◎証明

図◯^{2}において、折り方から △EIH は IH = IE の２等辺三角形である。 ⋯ (1) また、 △ICH において IH^{2} = IC^{2} + c^{2}、 △IBE において IE^{2} = IB^{2} + b^{2} が成り立つ。従って、 (1) より IH^{2} = IE^{2} であるから IC^{2} + c^{2} = IB^{2} + b^{2} すなわち、 c^{2} − IB^{2} = b^{2} − IC^{2} が成り立つ。 ⋯ (2)

◯^{4},◯^{5}において、 BG = BG′ = c, CF = CF′ = b であるから、 IG^{′2} = c^{2} − IB^{2}, IF^{′2} = b^{2} − IC^{2} であり、 (2) より、

IG^{′2} = IF^{′2} すなわち IG′ = IF′ となる。これは点のとり方から点 G′、 F′ が一致する（改めて K とする）ことを示している。よって◯^{6}の △KBC は BC = a, KC = b, KB = c である三角形である。

◎長方形の用紙での作図

正方形の用紙を使うという条件を外す（基本的には同一である）と次のような作図方法も考えられる。

◯^{1}  ◯^{2}  ◯^{3}

A B  C D E  F G  H b  a c  B  C E  F G  H^{|}  ^{|} I ∘  ∘  A B  C D E  F G  H IJ K
◯^{4}  ◯^{5}  ◯^{6}

A B  C D E  F G  H J K I C′  ^{||}^{||}  A B  C D E  F G  H J K I G′^{||}  ^{||}  A B  C D E  F G  H I G′=C′