折り紙と塩山で学ぶ

なわばりの幾何

{北海道岩見沢西高等学校 \atop 加藤 渾一}

2001/08/05

{山折り線 \atop 谷折り線}

今回は数式等はいっさい使わず手と目で数学をご一緒にやってみましょう。問題 A

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右の図のように４軒の住宅地に囲まれた４角形の公園（空き地）があります。ある日公園の除雪をすることになり各自の住宅地と公園の境界から最も近い区域の雪かきをすることにしました。どのように区域割をしたら良いでしょうか

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◯^{１}

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B ◯^{2}  A  C
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I B  C A◯^{3}

まず、簡単な場合から考えていきましょう。

B A P C 左図において、 2 辺 BA,BC から等距離にある点は ∠B の２等分線上にあります。右図◯^{1} のように、 BA と BC を重ね折ると、この 2 等分線 AP を得ることができます。直線 AP によって辺 BA,BC に近い区域が示されました。

• 三角形の場合

I 三角形の場合も同様です。三角形 ABC の３つの内角の 2 等分線は 1 点（内心）で交わり、この線分が区割りを表します。折り紙で考えると、 3 本の 2 等分線を折り、右図◯^{2}

〜◯^{3} のように三角形は内心 I を頂点としてたたむことができます。このとき、３つの辺 AB,BC,CA は一直線上に重なり内心 I から 3 辺への距離は等しいこと、たたまれた部分が各辺への最も近い区域を表すことが分かります。塩山でこのことを確かめてみましょう。

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• 四角形の場合（問題 A）

A  D  C B

四角形を折りたたんだ図 A  B C D  M N I J

A  D I J  C B 4 つの角の二等分線を折ります。一般には

４つの 2 等分線は同時に 1 点で交わりません。最初に出会った２組の二等分線の交点をそれぞれ I,J とします。この 2 点 I,J はどんな点なのでしょうか。ここで点 I から AD に垂線 IM を折り、 ID,IA を折りながら AM と DM が重なるようにたたんでみましょう。すると、 I から新たな折り線ができ、点 J を通ることが分かります。（下図）

A  B C D  J I M  N  E

次に、 J からも CB に垂線 JN をおろし、同様にたたむと、この四角形の 4 辺は重なり 4 頂点は 1 直線に並びます。 (左図）

このとき、 DC,AB の延長線の交点を E とすると、点 I は △ADE の内心、点 J は △BCE の傍心になっています。これで左図のように四角形の場合の区割りが得られました。すべての区割り線は角の 2 等分線になっています。塩山でも確かめてみます。

点 I,J は △ADE,△CBE の内心、傍心です。この内心・傍心の選び方は他にも考えられますが、その場合は内接円（傍接円）が他の辺を横切ることになり最も近いという条件に反します。折り紙はたたむことができません。

一般に折り紙の場合、多角形はこのように全ての辺をそろえて折りたたむことができますが、問題 A のような場合は凸多角形の場合に限られます。 (凹多角形の場合は一部を放物線に置き換えることが必要です。後述)

A  D  C B

• 課題：五角形の場合

右図のような５角形の場合はどうなるでしょうか。境界線を予想して書き込んでみましょう。また、折り紙で折ってみましょう。正解は塩山で示してみます。

◯^{1} A B

|  |
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B  C A P_{|}  _{|}  ^{||}^{||}^{|||}^{|||}
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P  A,B,C

問題 B

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A D C B ある地域に 4 つの高等学校が右の図のようにあります。一人ひとりの生徒はこの 4 校のうち最も近い学校に全員入学できるとすると校区はどのようになるでしょう。

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まず、簡単な場合から考えていきましょう。ここも問題 A と同様に後程塩山で検証してみます。

・学校数が 2 校のとき

学区の境界は線分 AB の垂直二等分線（右上図◯^{1}） 折り紙では 2 点 A,B を重ねて折ってできる折り線です。

・学校数が 3 校のとき

この場合も簡単です。 AB,BC,CA の垂直二等分線を引くと、 A,B,C のそれぞれに一番近い区域が示されます。折り紙では、 △ABC において、辺 AB,AC の垂直 2 等分線を折り（谷折り）、交点 P と頂点 C を結ぶ線を山折りにして包むように折ると第３の垂線（辺 BC への）が自然にでき、３頂点 A,B,C は重なります。（右図、点 P は △ABC の外心）・折り紙・校 区

A  B  C  A  P B  C

A  D  C B

◯^{1} A B C D

・学校数が 4 校のとき (問題 B）

– ４つの辺の垂直 2 等分線は一般には同時に１点では交わりませんどのように境界線を引いたらよいのでしょうか。

– 折り紙で考えてみます。四角形 ABCD の４つの辺の垂直 2 等分線を折り（左図◯^{1} 山折り）、隣り合う２辺の垂直 2 等分線の交点のうち、最初に交わる点 P をとり、 DP を谷折りにして３頂点 A,D,C が重なるようにたたむと第３の直線が折れ、辺 AB、 BC の垂直２等分線の交点 Q を通る（下図）。次に QC を谷折りにしてたたむと、頂点 B は３頂点 A,C,D に重な

る。（左図◯^{2} ）

– この山折り線が校区の境界線となる（下図）。

– 点 P は △ADC, 点 Q は △ABC の外心です。

B ◯^{2} P Q  C,D,A
A  B C D P Q  A  B C D P Q

・なぜ２点 P,Q なのか。

◯^{3} A B C D P

◯^{4} A B C D R

– 3 頂点の組合せは他にも存在しますが、仮に左図◯^{4}のように △ABD の外心 R を選んだとすると、頂点 C はこの外接円の内部に存在し、３頂点 A,B,D よりも近い距離にあることになり、条件に反します。当然この R を頂点としてたたむと、頂点 C は他の頂点に重ねることはできません。

– 折り始めの「隣り合う２辺の垂直 2 等分線の交点のうち、最初に交わる点」はこのことからきています。したがって、作図的には外接円の内部に３頂点以外の点が存在しないことが条件となります。

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塩山のアイデアは黒田俊郎先生の考案によるものです。２次曲線の話まで及ぶ詳細な内容は冊子「塩が教える幾何学」にまとめられており、インターネットを通じて入手することができます。 (http : //members.tripod.co.jp/yokoyama m/) また、「平面幾何のは・な・し」（三省堂： 1999.10 刊 黒田俊郎著）の中でも一部触れられています

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・課題：学校数が５校のとき

右図のような５角形の場合はどうなるでしょうか。境界線を予想して書き込んでみましょう。また、折り紙で折ってみましょう。正解は塩山で示してみます。

A  E  B  D C

問題 C

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A F ある地域に商店街 A と総合大型商業施設 B が右の図のようにあります。地域住民が最も近いところで買い物をするとすると、 A,F はどのような領域の住民を客として確保できるでしょうか。

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１点と直線からの距離が等しい点の軌跡（放物線）がその境界線となります。

折り紙では、右図のように辺 AB 上の任意の点が点 F に重なるように折ります。次々と異なる点を F に重ねて折ってできる直線群が一つの曲線（包絡線）＝放物線を作り出します。

これによって、問題 A の多角形が凹多角形の場合にも対処できることになります。

これも塩山で見てみることにします。

A  B C D  F

実験:以上の事柄を食塩を使って実際に求めてみましょう

問題 A １ 三角形 ２ 四角形 ３ 五角形問題 B １ 三角形 ２ 四角形 ３ 五角形問題 C １ 放物線 ２ 凹５角形ついでに２ 楕円 ３ 双曲線

※ 参考資料

数学セミナー（1995.11）「生物となわばり 杉原厚吉」＝魚が砂地に作ったなわばりパターン＝より

※ 参考文献・「最適配置の数理」岡部篤行・鈴木敦夫著朝倉書店・「ボロノイ図を通してみると…」数学セミナー (1996.4〜1997.3) 杉原厚吉著・「塩が教える幾何学」黒田俊郎（元東京都立高校教諭）著自費出版（横山正道 編集）