折り紙でひらめく補助線の幾何

加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校)

第56回数学教育実践研究会 2006年 1月 28日於：ニッセイＭＫビル

はじめに (お読みいただければ‥‥)

数学セミナー（日本評論社） 2006年１月号より特 集：代数方程式とガロア理論・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ものさしとコンパスとおりがみ小特集：折り紙・折り紙の科学・折り紙による曲面近似・ピタゴラスの三角形と折り紙（一昨年の私のレポートと同テーマですが

証明等がスマートです）エレガントな解答求む

はじめに

実験：３角形の内角の和＝180^{∘}

＝以下、資料を参照してご覧ください＝実験：３角形の内角の和＝180^{∘}

3

実験：３角形の内角の和＝180^{∘} ◯^{1}

4

実験：３角形の内角の和＝180^{∘} ◯^{2}

5

実験：３角形の内角の和＝180^{∘} ◯^{3}

6

実験：３角形の内角の和＝180^{∘} ◯^{4}

7

目次 (私の持ちネタ) ★印今回のテーマ

1 ◯ 折り方の基本 ; 2 ◯ 折り線の数理★ ; 3 ◯ 三角形の五心 ; 4 ◯ 規格用紙の数理 ; 5 ◯ 正多角形を折る ; 6 ◯ 折り紙のパズル★ ; 7 ◯ 多面体をつくる ; 8 ◯ 立体の切断 ; 9 ◯ 紙を切る ; ◯^{10} 折り紙と方程式  ◯^{1} 折鶴の幾何 ; ◯^{2} 任意角の３等分 ; ◯^{3} 三角形の作図★ ; ◯^{4} 三等分物語 ; ◯^{5} 図形の移動★ ; ◯^{6} なわばりの幾何 ; ◯^{7} 平面幾何について★ ; ◯^{8} 折り紙と入試問題 ; ◯^{9} 整角四角形問題★ ; ◯^{10} 関連図書の紹介★

折り線の数理

角の二等分線(今回) 紙コップの秘密折り線の秘密

角の二等分線の性質 資料 P18 参照

\begin{aligned}&   \\ ∘ & ∘ & A & B & C \end{aligned} 角を２等分する折り目をつけ ることは折り紙では煩雑に用い られます。 BAとBCを合わせて折る

\begin{matrix}  \\ ∘ & ∘ & A & B & C & D \end{matrix} \begin{matrix}角Aの２等分とBCの交点を \\ Dとすると、 \\ AD : DC = BA : BC \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ この性質を折り紙で説明（証 \\ 明）してみます \end{matrix}

\begin{matrix}  \\ ∘ & ∘ & A & B & C & D \end{matrix} \begin{matrix}角Aの２等分とBCの交点を \\ Dとすると、 \\ AD : DC = BA : BC \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 頂点Bが点Dに重なるように \\ 折る。 \end{matrix}

角の二等分線の性質 資料 P18 参照

\begin{matrix} \\ ∘ & ∘ & ∘ & ∘ & A & B & C & D & E & F \end{matrix} AD : DC = BA : BC

頂点Bが点Dに重なるように折る。

四角形DEBFは菱形 DE // AB, F D // BC

△CDE ∽△DAF ∽△CAB ED = F D であるから AD : DC = F A : ED

= F A : F D = BA : BC

外角の二等分線 資料 P18 参照

内角と同様に‥(イメージで折る！ ) AD : DC = BA : BC

∘∘ C A  B  D  F ∘∘ E

三角形の作図

三角形の作図（1） (今回) 三角形の作図（2）ピタゴラス三角形

数学セミナー2005年１月号より

三角形の作図問題

一辺aの正方形用紙で三辺がa, b, c(> 0)となる三角形を折って作図して下さい。ただし、三辺は次の条件を満たします。 a ≧ b ≧ c, a < b + c

もちろん証明も添えて下さい。

資料 P23 参照

A B  C D a

17

A B  C D E  F G  H b  a  c

18

B  C E  F G  H^{|}  ^{|} I ∘  ∘ b  a  c

19

A B  C D E  F G  H IJ b  a  c

20

A B  C D G  H IJG′^{||}  ^{||} b  a  c

21

A B  C D E  F IJ F′  ^{||}^{||} b  a  c

22

B  IK  C

23

折り紙のパズル

折り紙のパズル折り紙分度器正方形の分割(今回)

数学セミナー2006年１月号より

正方形の分割

正方形を６本の直線で分割してください。折り紙の幾何ですから、６回折るということです。このとき以下の条件を満たすには、どのような折り筋をつければよいでしょうか。

1) できた三角形、四角形の面積が、初めの正方形の面積を１とすると自然数のみで表記できる分数になる。

2) また、合同なものが、それぞれ４つずつできる（つまり折り筋が点対称になる）。

3) 最小の三角形の面積は\frac{1}{80} になるので、切り離してつなぎ直す

ことで、\frac{1}{80} から\frac{79}{80} の面積を作ることができる。以上の条件は答えのヒントにもなっています。

数学セミナー2006年１月号より

正方形の分割

省 略

2006年4月号を参照して下さい

平面幾何について

高校での代数的な表現方法に出会う前に

図形そのものの平行移動、対称移動、回転移動等

にどれだけ生徒はなじんでいるだろうか？

{図形を鑑賞する、鑑賞する目を養うことの \atop 重要性}

平面幾何：探偵小説と同じ

「幾何学再発見」瀬山士郎先生

同感！

一見何の関係もなさそうな点・線が補助線を引くことによってその関係が浮かび上がる。

まさに、

「点と線」 (松本清張)の世界

小学生：対称性を基本に、正三角形、二等辺三角形、円等

中・ (高校)生：それに、内心・外心、相似形等を加える

入試で受験生が

自分で補助線を引くことはない(ある予備校講師)

与えられる？

発見する喜び⟺ 与えられた補助線は楽しくない

平面幾何について

{補助線感覚を養う(練習)を \atop 折り紙の発想（筋肉作業?）で！}

{折り紙の数理や発想を通して \atop 幾何を楽しんでみましょう！}

図形の移動

「切り取り」と「折り返し」の移動 (今回) 対称移動(今回) 対称移動(折り返し) (今回) 切り取り移動

「折り返し」と「切り取り」移動

問 三角形ABC があり、 AB とCD の長さが等しく、 ∠CAB が 30^{∘}、 ∠ABC が40^{∘}のとき、 ∠CDA をもとめなさい。（算数オリンピック１９９３年決勝問４) 資料 P4 参照

B  C A  D

模範解答

B  ^{||} C A E _{||}  D

AB = CD ∠CAB = 30^{∘} ∠ABC = 40^{∘} ∠CDA =?

解答2

\begin{aligned}& \\ A & B & C & D & E & || & 40^{∘} & 30^{∘} & ∥ & ∥ \end{aligned} AB = CD

∠CAB = 30^{∘} ∠ABC = 40^{∘} ∠CDA =?

解答3

\begin{aligned}& \\ A & B & C & D & || & || & 40^{∘} & 30^{∘} \end{aligned} AB = CD

∠CAB = 30^{∘} ∠ABC = 40^{∘} ∠CDA =?

解答3

\begin{aligned}&   \\ A & B & C & D & E & || & || & || & 40^{∘} & 30^{∘} \end{aligned}  AB = CD ; ∠CAB = 30^{∘} ; ∠ABC = 40^{∘} ; ∠CDA =?

解答3

\begin{aligned}& \\ A & B & C & D & E & F & || & || & || & 40^{∘} & 40^{∘} & 30^{∘} & 30^{∘} \end{aligned} AB = CD

∠CAB = 30^{∘} ∠ABC = 40^{∘} ∠CDA =?

解答3

\begin{aligned}& \\ A & B & C & D & E & F & || & || & || & 40^{∘} & 40^{∘} & 30^{∘} & 30^{∘} \end{aligned} AB = CD

∠CAB = 30^{∘} ∠ABC = 40^{∘} ∠CDA =?

対称移動^{^{P} ^{Q}^{R}^{S}}

39

対称移動^{^{P} ^{Q}^{R}^{S}}

40

対称移動^{^{P} ^{Q}^{R}^{S}}

41

対称移動^{^{P} ^{Q}^{R}^{S}}

42

対称移動

43

対称移動

44

対称移動

45

対称移動

46

対称移動

四角形PQRSを写しとって開きます O

対称移動^{_{P} _{Q}_{R} S_{O}}

48

折り返し(1)

A  B

A  B

|^{|}_{||}^{||}  ∘ ∘ A  B C B′  E

例えばABの垂直２等分線に対して‥

A  _{|}  _{|}  B

A  _{|} B′  _{|}  B

折り返し(2)

54

• •  ^{|}^{|}^{||}^{||}  ∘ ∘

折り返し(3)

56

• •  ^{|}  ^{|}^{||}  _{||} ∘  ∘

|  ||| ||

•  •_{|}  _{|}^{||}^{||}

整角四角形問題

整角四角形問題(清宮氏) 整角四角形問題(池野氏) 角度の問題既知の問題を利用してラングレイの問題いろいろな解法（資料P14-16 参照）

例1 ：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

\begin{aligned}&   \\ || & || & A & B & C & D & E \end{aligned}  AB = AC, ; BD = BC, ; AD // BC のとき、 ; CD = CE を示せ

\begin{aligned}&   \\ || & || & A & B & C & D & E & D′ & || \end{aligned}  \begin{aligned}& AB = AC, \\ & BD = BC, \\ & AD // BC のとき、 \\ & CD = CE を示せ \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & △ABD をABで折り \\ & 返す。 \end{aligned}

例1 ：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

\begin{aligned}& \\ || & || & A & B & C & D & E & D′ & || \end{aligned} AB = AC,

BD = BC, AD // BC のとき、 CD = CE を示せ

△ABD をABで折り

返す。 △BD′C は正三角形

例1 ：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

\begin{aligned}& \\ || & || & A & B & C & D & E & D′ & || \end{aligned} AB = AC,

BD = BC, AD // BC のとき、 CD = CE を示せ

△ABD をABで折り

返す。 △BD′C は正三角形 Bは△CDD′ の外心

例1 ：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

\begin{aligned}& \\ || & || & A & B & C & D & E & D′ & || \end{aligned} AB = AC,

BD = BC, AD // BC のとき、 CD = CE を示せ

△ABD をABで折り

返す。 △BD′C は正三角形 Bは△CDD′ の外心

ED⊥ CD′ CD = CE

\begin{aligned}&   \\ || & || & A & B & C & D & E \end{aligned}  \begin{aligned}& & AB = AC, \\ & & BD = BC, \\ & & AD // BC のとき、 \\ & & CD = CE を示せ \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{aligned}

 D′^{||} _{||}_{||}A B  C D E  \begin{aligned}& & AB = AC, \\ & & BD = BC, \\ & & AD // BC のとき、 \\ & & CD = CE を示せ \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & & △BDC をBCで折り \\ & & 返す。 \\ & & 資料 P19 参照 \end{aligned}

 D′^{||} _{||}_{||} ^{|}_{|}  _{|} ^{|}_{|} A B  C D E  AB = AC, BD = BC, AD // BC のとき、 CD = CE を示せ △BDC をBCで折り 返す。 △DBD′ は正三角形 · · · · · · 資料 P19 参照

例2 ：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

しかし！他にも補助線のヒントが！

そのヒントになる正三角形を折り紙で折ってみましょう

正三角形の作図

A  B C D  \begin{matrix}一辺aの正方形用紙で三辺 \\ が a となる正三角形を折っ \\ て作図して下さい。 \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{matrix}

A  B C D  \begin{matrix}一辺aの正方形用紙で三辺 \\ が a となる正三角形を折っ \\ て作図して下さい。 \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 図のように半分に折ります \end{matrix}

A  B C D  P  \begin{matrix}一辺aの正方形用紙で三辺 \\ が a となる正三角形を折っ \\ て作図して下さい。 \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 図のように半分に折ります \\ Aを軸にDがこの折り目上 \\ (P)にのるように折る \end{matrix}

A  B C D  P  \begin{matrix}一辺aの正方形用紙で三辺 \\ が a となる正三角形を折っ \\ て作図して下さい。 \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 図のように半分に折ります \\ Aを軸にDがこの折り目上 \\ (P)にのるように折る \\ Bも同様 \\ △APB は正三角形 \\ そこで‥‥ \end{matrix}

整角四角形

A  B C D  P  \begin{matrix}正方形の対角線を引くと \\ この中に先程の四角形が潜 \\ んでいます \\ || & || \end{matrix}

整角四角形

A  B C D  P  \begin{matrix} &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 正方形の対角線を引くと \\ この中に先程の四角形が潜 \\ んでいます \\ || & || \\ そこで‥‥ \end{matrix}

例３：整角四角形 直角２等辺三角形ABCについて

|| _{||} A B  C D E F  \begin{aligned}& AB = AC, \\ & BD = BC, \\ & AD // BC のとき、 \\ & CD = CE を示せ \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & 補助線をこのように \\ & 引くと‥たちどころに \\ & ∠CED = ∠CDE \\ & 資料 P13 参照 \end{aligned}

その他

A  B C D P F E O  G  この折り図の構造の一 部はパズル等としても多 くの本に出題されていま す。（資料 P13 参照）

例えば‥

A  B C D  P

正方形ABCDの内部に ∠PDC = ∠PCD = 15^{∘} となるように点 P をとり、図のように結びます。すると、 ∠APB は何度になるか。

資料 P13 参照

整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)

A  B C D  ^{θ_{4}}^{θ_{3}}^{θ_{5}}^{θ_{6}}^{θ_{8}}^{θ_{1}}^{θ_{2}}  ^{θ_{7}}

θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{8} = 180^{∘}

θ_{2} + θ_{3} + θ_{4} + θ_{5} = 180^{∘}

θ_{6} + θ_{7} = θ_{2} + θ_{3} 資料 P14 参照

sin θ_{1} sin θ_{3} sin θ_{5} sin θ_{7} = sin θ_{2} sin θ_{4} sin θ_{6} sin θ_{8}

整角四角形問題とは

θ_{1}〜θ_{8}の８つの角のうち、いくつかが与えられたり

あるいは

角の間の関係式が与えられたとき、残りの角を求める問題

（これら８つの角の比は整数比）

整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)

マイコンを使用して、

\frac{180^{∘}}{n} を単位として、

n = 8〜n = 36(nは偶数)

について、すべての場合を調べあげた。

その結果、

整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)

例えば、 n = 18(10^{∘}単位)の場合について総数 724個 A型(円に内接するもの) 372 B型(対称型) 152(A型100個を含む) C型(1頂点が残りの３点でできる三角形の外心) 48 D型(1頂点が残りの３点でできる三角形の傍心) 48 E型（正三角形と２つの２等辺三角形） 24 (C、 D型共通なもの 12個を含む)

A,B型を除くと300個

A  B C D  ^{θ_{4}}^{θ_{3}} x^{θ_{1}}^{θ_{2}}

この300個の問題を

「折り返し」で解いてみました

整角四角形問題

その結果は、辺を対称軸として折り返す およそ５０題対角線を対称軸として折り返す およそ１２５題辺の２等分線を折る（外心を含む） およそ５０題角の２等分線を折る 数題（ただし、全て他のパターンで解ける）補助線不要 ４８題 (１頂点が他の３頂点でできる３角形の外心である場合) 不可能 ２６題（ただし、上記１〜３の折り返しで既知の問題に変換できる）資料 P17 参照

角度の問題(具体例)_{^{A}_{B}  _{C}^{D}_{b^{∘}}^{a^{∘}}  _{c^{∘}}^{d^{∘}}^{x^{∘}}}  40, 30, 80, 20 ; 外心・合同 ; 10, 10, 40, 110 ; 内接・内心 ; 40, 60, 30, 70 ; 内接・外心 ; 10, 20, 40, 40 ; 内心・合同 ; 20, 30, 70, 40 ; 4通り

85

20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘}

資料 P20 参照

A B  C D_{30^{∘}}^{40^{∘}}  ^{80^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}}  \begin{aligned}& 40^{∘}, 30^{∘}, 80^{∘}, 20^{∘} \\  &  &  &  &  &  &  &  \end{aligned}

87

A B  C D_{30^{∘}}^{40^{∘}}  ^{80^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}} C′  ^{|}^{|}_{||}^{||}  ^{||}

40^{∘}, 30^{∘}, 80^{∘}, 20^{∘}

BDに関して△BCD を対称移動 △BCC′ は正三角形

A B  C D_{30^{∘}}^{40^{∘}}  ^{80^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}} C′  ^{|}^{|}_{||}^{||}  ^{||}

BDに関して△BCD を対称移動 △BCC′ は正三角形 C′は△ABC の外心

A B  C D_{30^{∘}}^{40^{∘}}  ^{80^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}} C′  ^{|}^{|}_{||}^{||}  ^{||}^{||}

BDに関して△BCD を対称移動 △BCC′ は正三角形 C′は△ABC の外心 C′A を結ぶ

A B  C D_{30^{∘}}^{40^{∘}}  ^{80^{∘}}^{20^{∘}}^{x^{∘}} C′  ^{|}^{|}_{||}^{||}  ^{||}^{||}  ^{|||}^{|||}

BDに関して△BCD を対称移動 △BCC′ は正三角形 C′は△ABC の外心 C′A を結ぶ △DC′B ≡ △DC′A ∠ADB = 50^{∘} × 2

= 100^{∘}

92

整角四角形= 10^{∘}, 10^{∘}, 40^{∘}, 110^{∘}

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}}

ACに関して△ABC を対称移動

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′

B′AとBDの交点をN:△ABC の内心

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ N

CN ,DB′:四角形B′NCD は円に内接

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ N

∠NDB’ = ∠NCB′ = 60^{∘} = ∠NAC

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ N

四角形B′AOD は円に内接

A B  C  D_{10^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{110^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ O N

99

A B  C D^{60^{∘}}^{40^{∘}}  _{30^{∘}} ^{70^{∘}}  ^{x^{∘}} B′ N  M

ACに関して△ABC を対称移動 BAとCB′の交点をN NとDを結ぶ四角形BNDC は円に内接 Nは△AB′D の外心 x = 10^{∘}

101

A B  C D_{20^{∘}}^{10^{∘}}  ^{40^{∘}} ^{40^{∘}}^{x^{∘}} A′ E

BDに関して△ABD を対称移動 Aの対称点をA′ A′は△EBC の内心 △DBA′ ≡ △CBA′ ∠ADB = ∠A′DB

x = 20^{∘}

20^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 40^{∘}^{} 103

A B  C D_{30^{∘}}^{20^{∘}}  _{70^{∘}} ^{40^{∘}} ^{x^{∘}}  （その１） 資料 P9 参照

A B  C D_{30^{∘}}^{20^{∘}}  _{70^{∘}} ^{40^{∘}} ^{x^{∘}} E  \begin{aligned}& & & & （その１） \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & & & & △BDC を \\ & & & & BCで折り返す \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{aligned}

\begin{matrix}A & B & C & D & 30^{∘} & 20^{∘} & 70^{∘} & 40^{∘} & x^{∘} \\ 資料 P9 参照 \end{matrix}（その２）

\begin{matrix}A & B & C & D & 30^{∘} & 20^{∘} & 70^{∘} & 40^{∘} & x^{∘} \\ 資料 P9 参照 \end{matrix}\begin{matrix}（その２） \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ △BCD について \\ BCの垂直２等分線で折り \\ 返す \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{matrix}

A B  C D_{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{40^{∘}} ^{x^{∘}} O 資料 P9 参照

（その２）

△BCD について BCの垂直２等分線で折り返す

∠BAC = \frac{1}{2} ∠BOC

Oは△ABC の外心

\begin{matrix}A & B & C & D & 30^{∘} & 20^{∘} & 70^{∘} & 40^{∘} & x^{∘} \\ 資料 P9 参照 \end{matrix}（その３）

\begin{matrix}A & B & C & D & 30^{∘} & 20^{∘} & 70^{∘} & 40^{∘} & x^{∘} \\ 資料 P9 参照 \end{matrix}\begin{matrix}（その３） \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ △BAC について \\ BCの垂直２等分線で折り \\ 返す \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{matrix}

A B  C D_{30^{∘}}^{20^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{40^{∘}} ^{x^{∘}} GE F

資料 P9 参照

（その３）

△BAC について BCの垂直２等分線で折り返す

Eは△BCD の外心

四角形EGCD,AECDは円に内接

証明を考えて下さい

A B  C D^{α}  ^{2α}

（その4）

左図で、 ∠ACD = 2∠ABD BC は △ACD の外角の２等分線であるとき、 B は △ACD の傍心

これで36題(300題中)が解けます。

10^{∘}, 20^{∘}, 100^{∘}, 20^{∘}

＝既知の問題を利用して＝まず、整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}

を解き、これを利用します

\begin{matrix}  \\ A & B & C & D & 30^{∘} & 10^{∘} & 70^{∘} & 30^{∘} & x^{∘} \end{matrix}

整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}

 _{A B  C D_{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{x^{∘}} E F}

BCの垂直２等分線を折る ∠BEC = 2∠FEC = 2∠BDC Eは△BCD の外心

整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}

 _{A B  C D_{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{x^{∘}} E F ∘  ∘ ∘}

BCの垂直２等分線を折る ∠BEC = 2∠FEC = 2∠BDC Eは△BCD の外心

四角形EFCDは円に内接

整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}

 _{A B  C D_{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{x^{∘}} E F ∘  ∘ ∘  ∘}

BCの垂直２等分線を折る ∠BEC = 2∠FEC = 2∠BDC Eは△BCD の外心

四角形EFCDは円に内接

△CDE は正三角形 △ACE ≡△ACD x^{∘} = 30^{∘} 既知の問題（整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}）を利用

A B  C  D_{20^{∘}}^{10^{∘}}  ^{100^{∘}} ^{20^{∘}} ^{x^{∘}}

既知の問題（整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}）を利用

A B  C  D_{20^{∘}}^{10^{∘}}  ^{100^{∘}} ^{20^{∘}} ^{x^{∘}} E  \begin{matrix}BDで△BCD を折り返す \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \end{matrix}

整角四角形= 10^{∘}, 20^{∘}, 100^{∘}, 20^{∘}

既知の問題（整角四角形= 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘}）を利用

A B  C  D^{30^{∘}}^{10^{∘}}  ^{70^{∘}} ^{30^{∘}}^{30^{∘}}  ^{x^{∘}} E

BDで△BCD を折り返す

既知の問題＝ 10^{∘}, 30^{∘}, 70^{∘}, 30^{∘} となる四角形AECDは円に内接

20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} langleyの問題

A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  B′ C′ ^{30^{∘}}^{30^{∘}}

20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} 図のような２等辺三角形において、 ∠DBC = 60^{∘}

∠ECB = 50^{∘}

のとき、 ∠EDB を求めよ。

A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}} F  \begin{matrix}20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 一般的な解き方 \\ AC上に△BEF が正三角形 \\ になるように点Fをとる。 \end{matrix}

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\begin{matrix}  \\ B & C & D & A & 60^{∘} & 50^{∘} & x^{∘} \end{matrix}  \begin{matrix}20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 問題の図を書き直します。 \\ 等脚台形をつくるやり方もあ \\ りますが、それを折り返しで \\ 考えて見ます。 \end{matrix}

124

\begin{matrix}  \\ B & C & D & A & 60^{∘} & 50^{∘} & x^{∘} \end{matrix}  \begin{aligned}& 20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & ∠DBC の２等分線を折る \end{aligned}

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 _{B  C D A^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  E F G} 20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘}

∠DBC の２等分線を折る CFとBAとの交点をG

 _{B  C D A^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  E F G  ∘ ∘ ∘  ∘^{|}^{|}  ^{||}^{||}^{||}^{||}^{||}} 20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘}

∠DBC の２等分線を折る CFとBAとの交点をG FとA,GとDを結ぶ △AFG は２等辺３角形

△GFD は正３角形 ADは２等分線

A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  B′ C′ ^{30^{∘}}^{30^{∘}} ; \begin{aligned}& & 20^{∘}, 60^{∘}, 50^{∘}, 30^{∘} \\  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ & & 折り返しを利用して（２） \end{aligned}

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A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  B′ C′ ^{30^{∘}}^{30^{∘}}

辺ACに関して △ABC を対称移動

A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  B′ C′ ^{30^{∘}}^{30^{∘}}

辺ABに関して △ABC を対称移動

A B  C D E ^{20^{∘}}^{60^{∘}}  _{50^{∘}}^{x^{∘}}  B′ C′ ^{30^{∘}}^{30^{∘}}

C′B′を結び DからAB′に垂線をおろす

関連図書

関連図書の紹介資料 P3 参照おわり

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