\(2 次方程式の解について\)

\(\(\(\(研究の動機
あるとき 
                  「実係数の２次方程式の解は虚数解のときは共役な２数なのに実数解のときそうでないのはなぜか」

                  という質問をされた

                  それで、\) 
              どんなしくみになっ\) 
          ているのか調べてみようと思っ\) た\)

\(\(\(実係数の2次方程式\ \ 

              		\ \ 
              ax\^2 + bx + c = 
                \(0\ \ \ \((a ≠ 0)\)\ 

                      の2つの解の複素平面上での関係を調べてみる

                      まず具体例
\ \ \((1)\)\ \ \ x\^2 - 
                    4 x + 5 = 
                  \(\(0\ \ \ \ \ \ \ 虚数解\)
\ \ \((2)\)\ \ \ 
                        x\^2 - 4 x + 4 = 
                    \(0\ \ \ \ \ \ \ 重解
\ \ \((3)\)\ \ \ x\^2 - 
                        4 x + 3 = 
                      0\ \ \ \ \ \ \ 
                        異なる2つの実数解

                        について実験的に調べ\)\)\)、\) 次に数式によっ\) 
        て裏付けをする\)

\(\(\(\(\(以下では
\ \ \ \ \ z = \ \ 
                              ax\^2 + bx + 
                                c\ \ \ \((a ≠ 0)\)\ 

                                  また、\)
\ \ \ \ \ x -> 
                        x + yI, 
                      z -> z + wI\ \ \ \ \ \ \ \ \ x, y, z, 
                      w\ ϵ\ Ｒ

                        とおきかえる

                        すると、\) 
                    この2次関数は
\ \ \ \ \ 
                    \((x, y)\) -> 
                  \((z, w)\)

                    という対応だから、\) 
              グラフは4次元の図形になる

              それを視覚的に表わすことには無理があるので
		z = 
            \(f \((x, y)\)
		w = 
              \(g \((x, y)\)

                    のグラフをを別々に描いてみる
2  次方程式
				\ 
                    ax\^2 + bx + c = 0		
の解は\)\)、\) 
        z = \(0\ \ かつ\ \ w = 
        0\ \ となるような\ \((x, y)\)\ \ 
          である\)\)\(そのような点\ \((x, y)\)\ 
      は2つのグラフを照合すればわかるであろう		\)

(1)     (x^2)-4 x+5=\(0\ \ \ \ \ \ \ \ 虚数解の場合\)

z = 
      Re[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 5]

Plot3D[z, {x, 0, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 50, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "z"}];

w = 
      Im[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 5]

Plot3D[w, {x, 0, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 50, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "w"}];

\(\((2)\)\ \ \ x\^2 - 4 x + 4 = 
          0\ \ \ \ \ \ \ 重解の場合\)

z = 
      Re[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 4]

Plot3D[z, {x, 0, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 60, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "z"}];

w = 
      Im[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 4]

Plot3D[w, {x, 0, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 50, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "w"}];

\(\((3)\)\ \ \ x\^2 - 4 x + 3 = 
        0\ \ \ \ \ \ \ 
          異なる2つの実数解の場合\)

z = 
      Re[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 3]

Plot3D[z, {x, -1, 5}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 50, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "z"}];

w = 
      Im[(x + y I)^2 - 4 (x + y I) + 3]

Plot3D[w, {x, -1, 5}, {y, -4, 4}, PlotRange -> {0, 5}, 
      PlotPoints -> 50, ClipFill -> None, 
      AxesLabel -> {"x", "y", "w"}];

\(\(\(以上のことから、\) 2  
              次方程式の解は
\ \ \ \ \ x - 
            y平面上における双曲線と\ 2  直線の交点
\ \ \ \ \ \ 
              \((重解の場合は\)、\) 2  
        直線と\ 2  直線の交点)\)であるようだ
一般的な説明

\(実係数の2次方程式\ \)\(\ \ a \((x + yi)\)\^2 + b \((x + yi)\) + c
 = 
      \(\((ax\^2 - ay\^2 + bx + c)\) + \((2  ax + b)\) y\ \ i\  = 0\)\)\(は\ \ \ 
      左辺の実部・虚部ともに\ 0\ 
      であるときが解である\)\(z = \(ax\^2 - ay\^2 + bx + c = 0\ \ \ より\)\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    \((x + b\/\(2  a\))\)\^2 - y\^2 = 
      \(b\^2 - 4  ac\)\/\(4  a\^2\)\ \ \ \ \ \ ・・・ \((a)\)\ 
        双曲線\)\(w = \(\((2  ax + b)\) y\  = 0\ \ \ より\)\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \(-\(b\/\(2  a
	\)\)\)\ \ , 
    y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        ・・・ \((b)\)\ 2  直線\)\(つまり２つの図形\ \ \((a)\), 
    \((b)\) の交点が解である\ 
\)