楕円と双曲線

愛知県立高浜高等学校        山崎博司

１．はじめに

\(「アポロニウスの円」\)で
        \(２定点までの距離の比 
          \((商)\) 
          が一定である点の軌跡

          という定義を少し広げて

          \ \ \ \ \ \ \ \ 
          ２定円までの接線の長さの比 \((商)\) 
          が一定である点の軌跡\)
とすることを試みた。

\(\(\(\(\(\(\(そこで今度は
\ \ \ \ 
                      楕円\ \ \ \ ：\) 
                  ２定点までの距離の和が一定である点の軌跡
\ \ \ \ 
                  双曲線：\) 
              ２定点までの距離の差が一定である点の軌跡

              について同じことをするとどうなるか、\) 
          調べてみた。\)

      たとえば
\ \ \ \ \ \ \ \ 
        ２定円までの接線の長さの和が一定である点の軌跡

      はどうなるか。\)\ \ \ \ \ \ \ \ \)\)

\(\(\(\(試みに具体例をひとつ。\)

                                    ２つの円

                                    \ \ \ \ \ 
                                    A\  : \ \((x + 2)\)\^2 + y\^2 = 
                                      \(1
\ \ \ \ \ 
                                        \(B\  : \ \((x - 2)\)\^2 + y\^2\) = 
                                        1\ 

                                        に対して\)、\) 
                                  これら２円までの接線の長さの和が\ \ 2.1\ 
                                  である点の軌跡

                                
                                \ \ \ \ \ 
                                \(C\_\(\(1\  : \)\ \)\) 
                                      \@\(\ \((x + 2)\)\^2 + y\^2 - 1\) + 
                                    \@\(\ \((x - 2)\)\^2 + y\^2 - 1\) = 4.2

                                を考える。\)

                              
                              「数学Ｃ」 
                                の教科書にあるように、\)この式から２度の両辺二乗を経て根号を解消し
     C  :   0.41  (x^2) + 4.41  (y^2) = 6.2181
を得る。これは楕円の方程式であるが、グラフは次の図のようになる。
\(（赤色で表示\)。青色はもとの２円 A,B）

\(\(\(ここで、\) C\ 
        上の点Ｐから２円にひいた接線の長さの和とＱから２円にひいた接線の長さの和

      は明らかに異なるように見える。\)\)

\(\(そこで

      \ \ \ \ \ \ 
      ・\ C\ の表す図形には\ \ \(C\_\(1\ \)\) 
        のほかにどんなものが入り込んでいるのか
\ \ \ \ \ \ 
        ・２定円までの接線の長さの和が一定である点の軌跡はなにか
\ \ \ \ \ \ 
        ・２定円までの接線の長さの差が一定である点の軌跡はなにか

        ということを調べてみた。\)\)

\(\(\(\(（なお、\) 
          以下はすべて実数の範囲で考える。\)）\)\)

２．楕円と双曲線（その１）

\(\(\(\(\(まず、\) 一般的な定義

                \ \ \ \ 楕円\ \ \ \ ：\) 
            ２定点までの距離の和が一定である点の軌跡
\ \ \ \ 
            双曲線：\) 
        ２定点までの距離の差が一定である点の軌跡

      の場合を考える。\)\)

（１） ２定点からの距離の和が一定である点の軌跡

\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\ ２定点\ A \((\(-c\), 0)\), 
                                        B \((c, 0)\)\ 
                                        までの距離の和が\ 2  a \((一定)\) である点\ P \((x, y)\)

                                        の軌跡を考える。\) ただし、\) a > c > 0\ 
                                        とする。\)
点P 
                                        \((x, y)\)\ 
                                        のみたすべき方程式は\ \ 
		\ \ \ \(\(C\_\(1\ \)\) : \ 
                                        \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) + 
                                        \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = 
                                        2  a
である。\)

                                        このあと、\) 
                                      ｢数学Ｃ」\) 
                                  の教科書にあるように根号を解消するために両辺を２

                                  乗するという操作を経て次の式を得る。\)

                              \ \ \ \ \ \ \ \ 
                              \(C\  : \ \ 
                                \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2\) = 
                            \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)

                          これは、\) a > c\  > 
                      0\ \ により

                    \ \ \ \ \ \ \ 
                    C' : \ \ x\^2\/a\^2 + y\^2\/b\^2 = 
                      1\ \ \ \ \ \ \ \ （\ ただし、\) 
                  b\^2 = a\^2 - c\^2\ ）\)\ 

            と変形され、\) 
        これが楕円の方程式とされている。\)\)

\(\(\(まず\ \ a > c > 0\ のとき、\) \(C\_1\) 
        とC' 
        が同じ図形を表すことを確認したい。\)\)

\(\(無条件に式として考えた場合

        \ \ \ \ \ 
        C\  : \ \ \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2 = 
          \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)

            は次の４つの式の和集合 \(("または")\) 
            と同値である。\)

      \ \ \ \ 
      \(C\_1\) : \ 
          \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) + \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\) = 
        \(2 a
\ \ \ \ 
            \(\(C\_\(2\ \)\) : \ 
              \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) + \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = 
          \(\(-2\) a
\ \ \ \ 
              \(\(C\_\(3\ \)\) : \ 
                \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) - \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = 
            \(2 a
\ \ \ \ 
                \(\(C\_\(4\ \)\) : \ 
                  \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) - 
                    \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = \(-2\) a\)\)\)\)

\(\(\(\(\ \ \ \ \(( ∵ )\)\ \ \ \((\@A + \@B - C)\)\ 
                          \((\@A + \@B + C)\)\ \((\@A - \@B - C)\)\ 
                          \((\@A - \@B + C)\)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = 
                        \((A - B)\)\^2 - 2 \((A + B)\) C\^2 + 
                          C\^4
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                            である。\) ここで

                  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A = \((x + c)\)\^2 + y\^2

                  			\ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \((x - c)\)\^2 + y\^2

                  			\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                  C = \(2  a\)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                      とおけば、\) 右辺は

              		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  - 
              16 {\ \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2 - 
                    \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)}

            \ \ \ \ \ \ \ \ \ となり、\)\ 
          できあがり。\)                                                           ☺

\(\(\(\(\(\(\(\(さて、\) ここで\ \ C\_2\ 
                                      は明らかに表す図形なしである。\) 
                                  （ ∵ \ \(-2\)\ a < 0\ ）

                                  また\ \ a > c > 
                                0\ より、\) \(C\_3\) は

                            \ \ \ \ \ \ \ \ PA - PB = 
                        \(2  a > 2  c = AB\)
つまり
\ \ \ \ \ \ 
                            PA > PB + AB
よっ\) 
                    てこれをみたす点Pは存在しないから\ \ C\_3\ 
                    も表す図形なしである。\)
\ C\_4\ についても
\ \ \ \ \ \ PA - PB = 
            \(\(-2\) a < \(-2\) c = \(-AB\)\)
つまり

                \ \ \ \ \ \ PB > PA + AB
よっ\) 
        てこれをみたす点Pは存在しないから\ \ C\_4\ 
        も表す図形なしである。\)\)

\(\(\(\(\(\(\(したがっ\) て、\) a > c > 
                          0\ のとき
			\ \ 
                            \(\(C\_1\) : \ 
                              \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) + 
                                \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = 
                        \(2  a
と\ 
	\ \ \ \ \ \ \ \ 
                            \(C\  : \ \ 
                              \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2\) = 
                          \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)

                            は同じ図形を表し\)、\) a ≠ 0, 
                a\^2 - c\^2 > 
                    0\ \ だから
\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                      \(C' : \ \ x\^2\/a\^2 + y\^2\/b\^2\) = 
                  1\ \ \ \ \ \ \ \ （\ ただし、\) b\^2 = 
            a\^2 - c\^2\ ）\)\ 

        が表す図形も同じである。\)\)

\(\(\(\(\(\(つまりこのことによっ\) て、\)\ C' 
                上のすべての点は２定点までの距離の和が一定になっ\) てるこ
ともわかっ\) 
        た。\)\)

（２） ２定点からの距離の差が一定である点の軌跡

\(\(次に、\)\ c > a > 0\ のとき\)         
      (Subscript[C, 3 ]) :  
          (Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) - (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)]) = 2  aと        
      (Subscript[C, 4 ]) :  
          (Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) - (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)]) = 
        -2 aを合わせたものが\(\ \ \ \ \ \ \ \ 
      C \*"" :  ((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1        （ ただし、(b^2)=(c^2)-(a^2) ） 
と同じ図形を表すことを確認する。"\)

\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(先ほどと同様に\ C\ は、\) C\_1, C\_2, C\_3, C\_4\ 
                                        の和集合と同値であるが、\) 明らかに
\ C\_2\ 
                                        の表す図形はない。\)
また\ \ c > a > 0\ より、\)\ C\_1\ 
                                        も
\ \ \ \ \ \ \ \ PA + PB = 
                                        \(2  a < 2  c = AB\)

                                        だから表す図形なし。\)
よっ\) て、\) C\ 
                                        のグラフは\ \ 
                                        C\_3, 
                                      \(C\_4\) 
                                        を合わせたものである。\)	

                                    \ c > a\ のとき、\) C\ 
                                  は

                                \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                                C \*"":  ((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1       （ ただし、(b^2)=(c^2)-(a^2) ）   
と同値だから、C"" も\ C\_3, \ 
                                \(C\_4\) 
                                  を合わせたものであるといえる。\)

                              また、\) c > 0\ より

                        		\ \ x > 0\ のとき、\)\ 
                      \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) > 
                    \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)

                  		\ \ x < 0\ のとき、\)\ 
                \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) < \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)

            よっ\) て、\) C 
      \*"" のグラフの x＞0 の部分が (Subscript[C, 3])、x＜0 の部分が (Subscript[C, 4])である。		 "\)

（３） まとめ

\(\((i)\)\ \ \ \ \ 0 < a < c\ \ のとき\)             C  :   ((a^2) - (c^2)) (x^2) + (a^2) (y^2) = 
        (a^2) ((a^2) - (c^2))	   つまり            C": ((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1   （ただし、(b^2)=(c^2)-(a^2)）
		のグラフは  
		  \!\(TextForm\`\(\\ \\ \(C\_3\) : \\ \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) - \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\) = 2  a\)\)    
		\!\(TextForm\`\(\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \(C\_4\) : \\ \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) - \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\) = \(-2\) a\)\)
 	のグラフをあわせたものであり、x>0 の部分が (Subscript[C, 3]), x<0 の部分が (Subscript[C, 4])である。

\(\(\(\(\((ii)\)\ \ \ a = c\ のとき

                \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                C\  : \ \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2 = 
                  \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)

                	\ \ \ は

                \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = 0

                \ \ \ \ となる。\) すなわち\ 
              x軸を表す。\) 線分ABが\ C\_1, 
        点Aの左側が\ C\_4, 
        点Bの右側が\ C\_3

        \ \ \ \ である。\) ［説明略］\)

\(\(\((iii)\)\ \ a > c\ のとき

                \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                C\  : \ \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(a\^2\) y\^2 = 
                  \(a\^2\) \((a\^2 - c\^2)\)

                	つまり

                \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                C' : \ \ x\^2\/a\^2 + y\^2\/b\^2 = 
                  1\ \ \ \ \ \ \ \ （\ ただし、\) b\^2 = 
            a\^2 - c\^2\ ）\) 
のグラフは
           
          (Subscript[C, 1]) :  
              (Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) + (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)]) = 
            2  a
のグラフと同じである。

\(\(⟶\ \ \ Mathematica\)\ 
          「アニメ−１」\)

３．楕円と双曲線（その２）

\(\(さて今度は

      \ \ \ \ 
      ２つの定円までの接線の長さの和が一定である点の軌跡

      \ \ \ \ 
      ２つの定円までの接線の長さの差が一定である点の軌跡

      を調べてみる。\)\)

\(\(\(\(\(２つの円
\ \ \ \ 
                        \(A\  : \ \((x + c)\)\^2 + y\^2\) = s\^2

                    \ \ \ \ B\  : \ \((x - c)\)\^2 + y\^2 = t\^2

                    
                    までの接線の長さの和が一定 \(( = 2  a)\) 
                        である点の軌跡の方程式は
\ \ \ \ 
                        \(\(C\_\(1\ \)\) : 
                          \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) + 
                            \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\)\) = 2  a

                    である。\) ただし、\) a
              \ , c, s, t > 0  とする。\)

          この式から２度の両辺二乗を経て根号を解消すると

          \ \ \ \ \(C\  : \ 
            \((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(\(s\^2 - t\^2\)\/2\) c\ x + 
              \(a\^2\) y\^2\) = 
        a\^2\ \((a\^2 - c\^2)\) + \(\(s\^2 + t\^2\)\/2\) a\^2 + 
          \((\(s\^2 - t\^2\)\/4)\)\^2
を得る。\)\)

\(\(\(\(\(\(２の \((1)\) 
                        で述べたことと同様にして、\) C\ は

                  \ \ \ \ 
                  \(C\_1\) : \ 
                      \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) + 
                        \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) = 
                    \(2  a
\ \ \ \ 
                        \(\(C\_\(2\ \)\) : \ 
                          \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) + 
                            \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\)\) = 
                      \(\(-2\) a
\ \ \ \ 
                          \(\(C\_\(3\ \)\) : \ 
                            \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) - 
                              \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\)\) = 
                        \(2  a
\ \ \ \ 
                            \(\(C\_\(4\ \)\) : \ 
                              \@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) - 
                                \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\)\) = 
                          \(-2\) a\)\)\)

                  の和集合 （”\) 
                または”\)）\) 
          と同値であることが証明される。\) （証明略）\)

\(\(\(\ 
        C\_2\ は明らかに表す図形なしである。\)

      \ C\_1, C\_3, 
      C\_4\ のグラフを合わせたものが\ C\ 
        のグラフだと考えればよい。\)\)

（１）  ２つの定円が共有点をもたない場合

\(\(\(\(\(\(\(２つの定円\ A, 
                        Bが共有点をもたない、\) つまり

                    \ \ \ \ \ \ \ \ s + t < 2\ c

                    の場合を考える。\)

                  また、\) s ≥ 
              t\ \ としておく。\) 
          （\ \ 
            こうしても一般性を失わないだろう。\)）\)\)

\(\(\(\(\(上のように与えられた\ 
                      c, s, t\ に対して、\) 定数\ 
                  a\ の値を変化させてみる。\)
すると\ \ C\ 
              の表す図形は、\) 
          次の16とおりの場合に分けられる。\) （説明後述）\)

なおグラフは赤色の部分が (Subscript[C, 1]),\(青色の部分が\ C\_3\),緑色の部分が (Subscript[C, 4]) である。

\(\(\ \ \ \ \ \((i)\)\ \ \ \ \ \ \ a = 0\ \ のとき、\)\ \ 
        直線\ \ x = 
      \(s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)\ \ \ \((重解)\)\)

\(\(\ \ \ 
        \((ii)\)	\ \ 0 < a < 
          \(\@\(c\^2 - c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 双曲線\)

\(\(\ \((iii)\)\ \ \ \ \ a = 
          \@\(c\^2 - c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\ のとき、\) 
      双曲線\)

\(\(\ \((iv)\)\ \ \ \ \ \ \@\(c\^2 - c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\) < a < \ 
          \(\@\(c\^2 - c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 双曲線\)

\(\(\ \((v)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ a = 
          \@\(c\^2 - c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\ のとき、\) 
      双曲線\)

\(\(\ \((vi)\)\ \ \ \ \ \ \@\(c\^2 - c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\  < a < 
          \(\@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\)\) のとき、\) 
      双曲線\)

\(\(\((vii)\)\ \ \ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\)\) のとき、\) 
      ２直線\)

\(\(\((viii)\)\ \ \ \ \ \@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\) < a < 
          \@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\ \ のとき、\) 
      双曲線\)

\(\(\ \((ix)\)\ \ \ \ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\) のとき、\) 
      ２直線\)

\(\(\ \((x)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\) < a < 
          c\ のとき、\) 双曲線\)

\(\(\ \((xi)\)\ \ \ \ \ \ \ \ a = c\ \ のとき、\) 
      放物線\)

\(\(\ \ 
        \((xii)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ c < a < \ 
          \@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\ \ 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((xiii)\)\ \ \ \ \ \ \ \ a = \ 
          \(\@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((xiv)\)\ \ \ \ \ \ \@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\) < a < 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((xv)\)\ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((xvi)\)\ \ \ \ \ a > 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(C\ の表す図形の分類は以上である。\)
                                                                             ⟶    Mathematica\(「アニメ−２」\)

［説明１］  a の値による場合分けについて

\(\(\(\(\ \ 
              C : 	\((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(\(s\^2 - t\^2\)\/2\) c\ x + 
                    \(a\^2\) y\^2 = 
                a\^2\ \((a\^2 - c\^2)\) + \(\(s\^2 + t\^2\)\/2\) a\^2 + 
                  \((\(s\^2 - t\^2\)\/4)\)\^2

              は、\) a ≠ 0, 
        a ≠ c\ のとき

        \ \ \ \ \ \ \ 
        \((x + \(\((s\^2 - t\^2)\) c\)\/\(4 \((a\^2 - c\^2)\)\))\)\^2\/a\^2 + 
            y\^2\/\(a\^2 - c\^2\) = 
          \({4  a\^2 - 4  c\^2 + \((s + t)\)\^2} {
                4  a\^2 - 4  c\^2 + \((s + t)\)\^2}\)\/\(16 
              \((a\^2 - c\^2)\)\^2\)

        と変形できる。\)

      この式の形から\ C\ 
        の表す図形の種類が次のように分類できる。\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    a = 0  のとき\ \ 
        x軸に垂直な２直線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    0 < a < \(\@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\)\) のとき\ 
        左右型の双曲線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    a = \(\@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\)\) のとき\ 
        交わる２直線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    \@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\) < a < 
      \@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\ のとき\ 
        上下型の双曲線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    a = \(\@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\) 
        のとき交わる２直線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    \@\(c\^2 - \((s + t)\)\^2\/4\) < a < 
      c\ \ のとき\ 
        左右型の双曲線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = c\ のとき放物線\)\)

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a > c\ のとき楕円\)\)

\(\(\(また\ C\ が定円\ A\ 
              と共有点をもつのは

              \ \ \ \ \ \ \ \ 
              \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\) 
            ⪯ a ⪯ 
            \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 + 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\)

              のときであり、\) 
        それ以外のときは共有点なし。\)\)

\(\(\(また\ C\ が定円\ B\ 
              と共有点をもつのは

              \ \ \ \ \ \ \ \ 
              \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 - 4\ c\ t + t\^2)\)\) 
            ⪯ a ⪯ 
            \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 + 4\ c\ t + t\^2)\)\)

          のときであり、\) 
        それ以外のときは共有点なし。\)\)

\(\(\(また、\) s + t < 2\ c, 
      s ⪰ t\ より
\ \ \ \ \ \ \ \ 0 < 
        \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\) < 
        \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 - 4\ c\ t + t\^2)\)\ \ \)

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  < 
        \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 + 4\ c\ t + t\^2)\)\) < 
        \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 + 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\)

          が保証されている。\)\)

\(\(\(\(よっ\) て、\) 上のように\ 16  
        の場合に分類した。\)\)

\(\(\(\(また\ C\ と\ A\ あるいは\ C\ と\ B
              \ の連立方程式の解は､それぞれ重解が２個である。\)

          
          だから共有点をもつとき、\) C\ のグラフは\ A\ や\ B\ 
        と２点で接する。\)\)

\(\(⟶\ \ \ Mathematica\) 
          「説明１の補足」\)

\(TextForm\`［説明２］\ \ \ \ C\_1, C\_3, 
    C\_4\ の分離\)

\(\(\(\(\ C\ のグラフにおいて、\)\ \ 
            C\_1, C\_3, 
          C\_4\ はそれぞれどの部分になっ\) ているのかを調べ

      てみる。\)\)

\(\(\ \ \ \ \ 
      C : 	\((a\^2 - c\^2)\) x\^2 + \(\(s\^2 - t\^2\)\/2\) c\ x + 
            \(a\^2\) y\^2 = 
        \(a\^2\ \((a\^2 - c\^2)\) + \(\(s\^2 + t\^2\)\/2\) a\^2 + 
            \((\(s\^2 - t\^2\)\/4)\)\^2
より
\ \ \ \ \ y\^2 = \ 
          \((a\^2 - c\^2)\) + \(s\^2 + t\^2\)\/2 + 
            \((\(s\^2 - t\^2\)\/\(4  a\))\)\^2 - 
            \(\(	\((a\^2 - c\^2)\)\)\/a\^2\) x\^2 - 
            \(\(s\^2 - t\^2\)\/\(2  a\^2\)\) c\ x
これを\ 
              C\_1\), C\_3, 
      C\_4\ に代入したものを考えてみる。\)\)

\(\ \ \@\(\ \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) = 
      \(√\((\ 
            \((x + c)\)\^2 + \ \((a\^2 - c\^2)\) + \(s\^2 + t\^2\)\/2 + 
              \((\(s\^2 - t\^2\)\/\(4  a\))\)\^2 - \ \ \ 

              				\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(	\((a\^2 - c\^2)\)\)\/a\^2\) x\^2 - 
              \(\(s\^2 - t\^2\)\/\(2  a\^2\)\) c\ x - s\^2)\)

        			\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = \@\(\((4\ a\^2 - s\^2 + t\^2 + 4\ c\ x)\)\^2\/\(16\ a\^2\)\)\)\)\(	\@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) = 
      \(√\((\ 
            \((x - c)\)\^2 + \ \((a\^2 - c\^2)\) + \(s\^2 + t\^2\)\/2 + 
              \((\(s\^2 - t\^2\)\/\(4  a\))\)\^2 - \ \ \ 

              				\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(	\((a\^2 - c\^2)\)\)\/a\^2\) x\^2 - 
              \(\(s\^2 - t\^2\)\/\(2  a\^2\)\) c\ x - t\^2)\)

        	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = 
        \@\(\((4\ a\^2 + s\^2 - t\^2 - 4\ c\ x)\)\^2\/\(16\ a\^2\)\)\)\)

\(\(\(これらを\ x\ 
            の関数とみたとき、\) 
        グラフの概形は下図ようになる。\)\)

\(ただし、\)
        (Sqrt[ (((x + c))^2) + (y^2) - (s^2)])   \(（ピンク色）\)
     	(Sqrt[ (((x - c))^2) + (y^2) - (t^2)])    \(（水色）\)
である。

\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
    \(⟶\ \ \ Mathematica\) 
      「説明２の補足」\)\)

\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(このことから

                                    \ \ \ \ \ \ \ \ 
                                    \(\(-4\)\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\) 
                                      ≤ x ≤ 
                                      \(4\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)

                                    のとき

                                    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                                    \@\(\ \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) < 
                                      2  a

                                    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                                    \@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) < 
                                      2  a

                                    
                                    だから
\ \ \ \ \ \ \ \  
                                      \[VerticalSeparator] 
                                      \(\@\(\ 
                                        \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) - 
                                        \@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) 
                                        \[VerticalSeparator] \( < 2  a\)\)

                                    つまり、\) C\_3, 
                                C\_4\ 
                                  はありえない。\)

                              よっ\) て 
                            （もしこの範囲にCのグラフが存在するなら） 
                            C\_1\ が対応している。\)

                        また

                        \ \ \ \ \ \ \ \ 
                        x < \(\(-4\)\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)

                        のとき

                        \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
                        \@\(\ \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) > 0

                        \ \ \ \ \ \ \ \ 
                        \@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) > 2  a

                        だから

                        \ \ \ \ \ \ \ \ 
                        \@\(\ \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) + 
                            \@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\) = 2  a

                        つまり、\) C\_1\ 
                      はありえない。\)

                  また

                  \ \ \ \ \ \ \ \ 
                  \@\(\ \((x + c)\)\^2 + y\^2 - s\^2\) < 
                    \@\(\ \((x - c)\)\^2 + y\^2 - t\^2\)

                  
                  だから\ C\_3\ 
                    もありえない。\)

                よっ\) て 
              （もしこの範囲にCのグラフが存在するなら） C\_4\ 
              が対応している。\)

          同様にして

          \ \ \ \ \ \ \ \ x > \(4\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)

          のときは、\) C\_3\ 
        が対応している。\)\)

\(\(\(\(\(\(\(［まとめ］
C\ 
                                        のグラフのうち
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < \(\(\(-4\)\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)\) 
                                        の部分には、\) C\_4
\ \ \ \ \ \ \ \ \(\(-4\)\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\) ≤ 
                                x ≤ 
                                \(\(4\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)\) 
                                  の部分には、\) 
                            C\_1
\ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 
                          \(\(4\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)\) 
                            の部分には、\) C\_3

                      が対応している。\)

                  また、\) 境界の
\ \ \ \ \ \ \ \ \ 
              x = \(\(-4\)\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\), 
          \(4\ a\^2 + s\^2 - t\^2\)\/\(4\ c\)

          はそれぞれ\ C\ と、\) 
        もとの２定円\ A, 
      B\ と連立方程式の解の\ x\ 
        座標でもある。\)	                                                                                                 \(（「説明１の補足」 
            参照）\)

（２）  ２つの定円が交わる場合

\(\(\(\(\(\(\(２つの定円\ A, 
                          Bが交わる、\) 
                        つまり

                      \ \ \ \ \ \ \ \ s + t > 2\ c

                      の場合を考える。\)

                    また、\) s ≥ 
              t\ \ としておく。\) 
          （\ \ 
            こうしても一般性を失わないだろう。\)）\)\)

\(\(\(\(\(上のように与えられた\ 
                    c, s, t\ に対して、\) 定数\ a
                \ の値を変化させてみる。\)
すると\ \ C\ 
            の表す図形は、\) 
        すくあとに述べる\ 10  
        とおりの場合に分けられる。\)\)

\(\(\(\(\(\ C\ が\ ２定円\ \ A, 
                B\ と共有点をもつかどうかについて

                
                ２定点が共有点をもたない場合には

                		\ \ \ \ \ \ 
                0 < \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\) < 
                  \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 - 4\ c\ t + t\^2)\)\ \ \)

                  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  < 
                  \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 + 4\ c\ t + t\^2)\)\) < 
                  \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 + 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\)

                であっ\) たところが

            交わる場合は

            \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s + t > 2\ c

            より

            \ \ \ \ \ \ \ \ 1\/4\ \((4\ c\^2 - 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\) < 0

            \ \ \ \ \ \ \ \ 1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 - 4\ c\ t + t\^2)\) < 0

            となり

            \ \ \ \ \ \ \ \ 
            0 < \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 - s\^2 + 4\ c\ t + t\^2)\)\) < 
              \@\(1\/4\ \((4\ c\^2 + 4\ c\ s + s\^2 - t\^2)\)\)

            
            を考えるだけでよくなる。\)

          その分だけ場合が減っ\) 
        ている。\)\)

なおグラフは赤色の部分が (Subscript[C, 1]),\(青色の部分が\ C\_3\),緑色の部分が (Subscript[C, 4]) である。

\(\(\(\ \ \((i)\)\ \ \ \ \ \ \ a = 0\ \ のとき、\) 
      ２つの半直線\ \)\)

\(\(\(\((ii)\)\ \ \ \ \ \ 0 < a < 
          \@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\ のとき、\) 
      上下型の双曲線\ \)\)

\(\(\((iii)\)\ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\)\) のとき、\) 
      ２直線\)

\(\(\ \((iv)\)\ \ \ \ \@\(c\^2 - \((s - t)\)\^2\/4\) < a < 
          c\ のとき、\) 
      左右型の双曲線\)

\(\(\ \((v)\)\ \ \ \ a = c\ のとき、\) 
      放物線\)

\(\(\((vi)\)\ \ \ \ \ \ c < a < 
          \(\@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\(\((vii)\)\ \ \ \ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\ \ \ \)\)

\(\(\((viii)\)\ \ \ \ \ \@\(c\^2 + c\ t - \(s\^2 - t\^2\)\/4\) < a < 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((ix)\)\ \ \ \ \ a = 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(\((x)\)\ \ a > 
          \(\@\(c\^2 + c\ s - \(t\^2 - s\^2\)\/4\)\) 
            のとき、\) 楕円\)

\(\(⟶Mathematica\) 
          「アニメ−３」\)

４．おわりに

\(\(\(\(\(\(気楽に始めたところ、\) 結構煩雑な作業になっ\) 
              てしまっ\) た。\)

      主要なことは次の４点であろう。\)\)

\(１．\)方程式  ((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=\(1\ \ \ \ 
                                        \((あるいは\ \ \ 
                                        x\^2\/a\^2 - y\^2\/b\^2 = 1)\)\ \ \ 
                                        のグラフ上の点は\)、確かに
	  \(「２定点までの距離の和 \((あるいは差)\) 
                                        が一定」\)になっている。
     
    \(「２定点までの距離の和 \((差)\)」 
                                        というところを\)、\(「２定円までの接線の長さの和 \((差)\)」\)
  	におきかえた場合、
２．\(「和」\)であるか\(「差」\)であるかは、それぞれ\(「楕円」\)\(「双曲線」\)であること
	     に本質的なことではないようだ。双曲線の一部が\(「和が一定」\)であったり、
	      \(楕円の一部が 「差が一定」 であ\)ったりする。
３．\(「和または差が一定」\)( = 2  a)である点の軌跡がひとつの２次曲線を表し、a の値の
		    \(変化\ によ\)って\(「楕円」\)\(「双曲線」\)\(「放物線」\)などが現れる。
４．３．の曲線のどの部分が\(「和が一定」\)であり、どの部分が\(「差が一定」\)であるか
		   を調べた。
		     \(（\ 
                    特にもとの２定円の半径をゼロに近づけることにより\)、双曲線から\(「和が一定」\)
	     の部分が排除され、楕円から\(「差が一定」\)の部分が排除される。）

⟶Mathematica\(「アニメ−４」\)
                                               ⟶Mathematica\(「アニメ−５」\)