２．リーマン和

　われわれは　このｆ（ｘ）の下の領域を等しい幅に切って、高さｆ（ｘ）の細長い長方形をつくり、その面積の和を考える。

　例えば区間［ａ、ｂ］を４等分して、それぞれの上に高さｆ（ｘ_０）ｆ（ｘ_１）ｆ（ｘ_２）ｆ（ｘ_３）の長方形をつくる。
　これらの長方形の面積の和は　小区間の幅（ｂ−ａ）／４ をΔｘと表わせば、
　　　ｆ（ｘ_０）・Δｘ＋ｆ（ｘ_１）・Δｘ＋ｆ（ｘ_２）・Δｘ＋ｆ（ｘ_３）・Δｘ となる。

問題　ａ＝１　ｂ＝５で ４等分（Δｘ＝１）したときのこの長方形の面積の和を求めよ。

　このような長方形の和をｆ（ｘ）のａからｂまでのリーマン和といい、
　　　　　ｆ（ｘ）・Δｘ で表わす

定義　ｆ（ｘ）のａからｂまでのリーマン和 ｆ（ｘ）・Δｘ＝ｆ（ｘ０）・Δｘ＋ｆ（ｘ１）・Δｘ＋ｆ（ｘ２）・Δｘ＋・・・　＋ｆ（ｘｎ−１）・Δｘ 　　（ただしｘ０＝ａ　ｘｎ＝ｂ　Δｘ＝ （ｂ−ａ）／ｎ　）

　このリーマン和は下の図のようにｎをどんどん大きく（Δｘをどんどん小さく）していけば、ｆ（ｘ）のａからｂまでの下の面積にどんどん近づくであろう。

　このことを　ｆ（ｘ）＝ｘ^２　の０から１までの下の面積について確かめてみよう。

ｎ＝５のとき
　　　ｘ^２・0.2＝０^２・0.2＋0.２^２・0.2＋0.4^２・0.2＋0.6^２・0.2＋0.8^２・0.2＝

　ｎ＝１０のとき
　　　ｘ^２・0.1＝0^２・0.1＋0.1^２・0.1＋0.2^２・0.1＋

同様に計算すると
　ｎ＝５０のとき　　　ｘ^２・0.02＝　０．３２３４
　ｎ＝１００のとき　　ｘ^２・0.0１＝０．３２８３５
　ｎ＝１０００のとき　ｘ^２・0.001＝０．３３２８３３５　　　　となる。

　このようにΔｘに対するｆ（ｘ）のａからｂまでのリーマン和
　　　　　　ｆ（ｘ）Δｘ　　は
分割の数ｎを大きくすることによってΔｘをどんどん小さくしていけば、ｆ（ｘ）の下の面積に近づいていくであろう。

質問　分割の数ｎを大きくし、Δｘをどんどん小さくしていけば、リーマン和ｆ（ｘ）Δｘ　　はｆ（ｘ）の下の面積の値といつかは一致するだろうか。

　予想　ア．いつかは一致する　　イ．いつまでも一致しない　　ウ．どちらともいえない