整数のＫ進法表示
図のような無造作な正方形の集まりを数で表してみよう。
この場合、必ず10毎にまとめなくてはならないということはないのであり、4毎にまとめる場合や、3毎にまとめる場合等々があってもよいのである。そして「1」を表す正方形が何個か集まって棒状の長方形となり、その棒状の長方形が何個か集まってより大きな正方形が形成されてゆく・・・というのは同じである。3毎にまとめると大きな正方形2枚と、長方形2本と、「1」の正方形1個となりこれを221(3)と表す。この場合の1枚は32であり、1本は3であるから221(3)＝2×32＋2×3＋1＝25である。
また4毎にまとめると、1枚と2本と1個となりこれを121(4)と表わす。(1図)が次に示す(4図)→(5図)へとまとめられてゆく。
この場合は、1枚は42であり、1本は4を表すから121(4)＝1×42＋2×4＋1＝25である。そうして3毎にまとめると3進法、4毎にまとめると4進法による表示といい、一般にＫ進法による表示が可能である。
では25を3進法表示すると221(3)となるのは、どのような計算によって求められるのであろうか。前の(1図)から(2図)、(3図)への推移を考察してみよう。これは25個の正方形が8本の長方形と1個の正方形にまとめられたことを示している。あくまでも3毎にまとめるのであるから次のこの8本を3毎にまとめると、大きな正方形2枚と、長方形2本となり、結局は2枚と2本と1個になっている。これを計算の上で考えると、
25＝3×8＋1 8＝3×2＋1
というように3で割って商と余りを求め、次にその商を再び3で割って商と余りを求めている。
25＝3×8＋1＝3(3×2＋2)＋1＝2×32＋2×3＋1である。そこで次のような簡便計算ができる。
このようにして、25＝221(3)として求めることができる。
一般にＫ毎にまとめる場合も同じように考えてゆくことができる。「1」を表す正方形がＫ個集まって細長い長方形ができ、これは1本でＫを表し、この棒状の長方形がＫ本集まると大きな正方形となり、これはＫ2を表している。更にこの大きな正方形をＫ枚集めると、再び棒状の長方形となり、これはＫ3を表し、それがＫ本集まると巨大な正方形が形成されＫ4を表し・・・となっている。
ここで
Ｋn，Ｋn-1，Ｋn-2，・・・，Ｋ，1
を表す図がそれぞれ
a0,a1,a2,・・・,an-1,an
だけある図全体は次のような数を表すことになる。まず
a0a1a2・・・an-1an(K)
＝a0Ｋn＋a1Ｋn-1＋a2Ｋn-2＋・・・＋an-1Ｋ＋an
となる。
このとき
a0,a1,a2,・・・,an-1,an
はすべてＫより小なる正の整数または0である。何故ならばＫn-iの係数aiがもしもＫならばＫn-iの図が長方形からaiＫn-iはより大きな正方形となってしまい、またＫn-iが正方形の図ならばaiＫn-iはより大きな棒状長方形となり、いずれにしても上の位の数を表す図になってしまうのである。よって、
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a0a1a2・・・an-1an(K)＝a0Ｋn＋a1Ｋn-1＋a2Ｋn-2＋・・・＋an-1Ｋ＋an (a0,a1,a2,・・・,an-1,anはＫより小の自然数か0) |
整数ＮのＫ進法表示については次の重要な性質がある。整数ＮをＫ進法で表すとき、ＮをＫで割り余りと商を求め、ついでこの商をＫで割り余りと商を求める・・・というように次々と求められる商と余りが下の通りであったとする。
ＮをＫでわると余りanで商がＮn-1、このＮn-1をＫで割ると余りがan-1で商がＮn-2・・・とすると
Ｎ＝a0a1a2・・・an-1an(K)
となる。
そしてこれは一意的に成り立つ。何故ならば次のnこの式はいずれも一意的に成立する。
Ｎ＝ＫＮn-1+an (0≦an＜Ｋ)
Ｎn-1＝ＫＮn-2+an-1 (0≦an-1＜Ｋ)
・・・
Ｎ1＝ＫＮ0+a1 (0≦a1＜Ｋ かつ 0＜a0＜Ｋ)
そこで
Ｎ＝ＫＮn-1+an
＝Ｋ(ＫＮn-2+an-1)+an
＝Ｋ2(ＫＮn-2+Ｋan-1)+an
＝ ・・・
＝a0Ｋn＋a1Ｋn-1＋a2Ｋn-2＋・・・＋an-1Ｋ＋an
＝a0a1a2・・・an-1an(K)
となりＮも一意的に表されるのである。
| （例１）10進法で表された数80をn進法で表すと212となる。nを求めよ。（産業能率大） |
| （例２）136を7進法で表せ。 |
